# 歐拉挫屈公式：如何計算柱的臨界挫屈載重

> Source: https://rodlesspneumatic.com/zh-hant/blog/euler-buckling-formula-how-to-calculate-the-critical-buckling-load-of-a-column/
> Language: zh-Hant

## Summary

用 4 項輸入計算歐拉臨界挫屈載重，正確選用有效長度係數，檢查實心或中空桿的慣性矩與單位，並完成氣缸範例。

## Page Content

# 歐拉挫屈公式：如何計算柱的臨界挫屈載重

歐拉挫屈公式用來估算長、直且細長的柱件在側向失穩時所承受的理想彈性壓縮載重。 若要計算氣動氣缸活塞桿，必須明確定義四項輸入：楊氏模數、最小面積慣性矩、實體無支撐長度，以及代表端部約束的有效長度係數。只有行程長度還不夠。

本文是一份計算工作表，說明如何建立方程式、保持單位一致、比較實心與中空圓形截面，並判斷結果何時已超出歐拉理論的適用範圍。若要了解更完整的機台層級流程，包括最大壓縮工況、導向、側向負載、重新設計選項與無桿替代方案，請參閱[長行程活塞桿挫屈指南](/zh-hant/blog/how-can-you-prevent-piston-rod-buckling-in-long-stroke-cylinder-applications/)。

> 重點摘要 歐拉載重與活塞桿剛性 E I EI 成正比，與有效長度的平方成反比。 實心圓桿的慣性矩與直徑的四次方成正比。 Parker 在本文引用的 P1F 方法中建議 3.5 至 5 的安全係數，但這不是通用規則。 計算只能用來篩查活塞桿；選型仍以該款氣缸製造商的精確圖表為準。

## 歐拉挫屈公式計算的是什麼？

MIT 將歐拉挫屈描述為細長柱在軸向壓縮下發生的彈性失穩，並給出有效長度形式 F c r = π 2 E I / L e 2 F_{\mathrm{cr}}=\pi^2EI/L_e^2 （[MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-002-mechanics-and-materials-ii-spring-2004/9aebe9fc6669d928aa716a5033cc9c9f_lab_1_s04.pdf)）。其結果是理想分岔載重，不是材料破壞載重，也不是完整的氣缸額定值。

計算式為：

P c r = π 2 E I L e 2 P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}

有效長度為：

L e = K L L_e = K L

合併這兩個關係式可得：

P c r = π 2 E I ( K L ) 2 P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}

在這些方程式中：

- P c r P_{\mathrm{cr}} 是理想歐拉臨界載重，單位為牛頓。

- E E 是楊氏模數；採用毫米制時，單位為 N / m m 2 \mathrm{N/mm^2} 。

- I I 是通過形心之最小面積慣性矩，單位為 m m 4 \mathrm{mm^4} 。

- L L 是實體無支撐長度，單位為毫米。

- K K 是無因次的有效長度係數。

- L e L_e 是有效挫屈長度，單位為毫米。

歐拉臨界載重 是理想筆直彈性平衡狀態開始失穩時，計算所得的軸向壓縮載重。它不能保證真實氣缸活塞桿在達到該數值前都會保持筆直。初始彎曲、負載偏心、間隙、側向負載、局部截面變化與不完整約束，都可能降低可用載重。

這個公式也不會計算氣缸推力。請另外求出最大可信壓縮力，再與特定產品的允許載重比較。SMC 的氣缸選型指南要求使用者在其行程表中，把氣缸最大產生力視為挫屈力；其中也包括輕負載氣缸在伸出時被外部擋塊停止的工況（[SMC](https://www.smcworld.com/catalog/BEST-technical-data-en/pdf/AirCylinder-Select-Tech_en.pdf)）。

## 輸入工作表：E、I、L 與 K

MIT 的有效長度方程式使用 E E 、 I I 、 L L 與 K K 四項數值；ISO 15552 則涵蓋缸徑 32 至 320 mm、最高額定壓力 1,000 kPa 的可互換氣缸尺寸（[MIT](https://ocw.mit.edu/courses/2-002-mechanics-and-materials-ii-spring-2004/9aebe9fc6669d928aa716a5033cc9c9f_lab_1_s04.pdf)、[ISO](https://www.iso.org/standard/66921.html)）。尺寸標準化不會提供一套通用的挫屈輸入值。

計算前，請記錄每一項數值及其來源：

| 輸入 | 必須記錄的資料 | 常見錯誤 |
| --- | --- | --- |
| E E | 活塞桿材料、熱處理、溫度、單位與資料來源 | 對材料不明的活塞桿套用一般鋼材數值 |
| I I | 關鍵截面形狀與實際尺寸 | 使用活塞缸徑或標稱螺紋直徑 |
| L L | 最不利位置的實體無支撐長度 | 未檢查轉接件與支撐就輸入標稱行程 |
| K K | 端部約束模型或製造商安裝案例 | 只根據安裝件的行銷名稱指定理論值 |
| P a p p l i e d P_{\mathrm{applied}} | 最大可信軸向壓縮載重 | 只使用正常負載所需的力 |
| S F S_F | 製造商方法或有文件依據的設計基準 | 把某一本型錄的係數當成通用規則 |

### 楊氏模數

楊氏模數代表材料的彈性軸向剛性。請使用實際活塞桿材料與溫度所對應的數值，最好取自製造商或受控的材料資料。表面硬化或鍍鉻不代表整個活塞桿截面的模數會自動變成塗層材料的數值。

鋼材示範計算常使用：

E = 200,000   N / m m 2 E = 200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}

這個數值等於 200 GPa。它只是輸入範例，不能證明已購買氣缸所使用的實際材料。

### 實體無支撐長度

請量測活塞桿在最不利伸出位置可能彎曲的實體距離。依所選方法的要求，應包括外露活塞桿與任何沒有支撐的桿端轉接件。即使標稱行程同為 800 mm，若活塞、軸承、叉形接頭、連接件或外部支撐改變實際約束點，無支撐長度也會不同。

L L 是幾何長度； L e = K L L_e=KL 則是歐拉方程式使用的等效長度。請把兩者放在工作表的不同儲存格，讓有效長度的依據保持清楚可查。

### 施加的壓縮力

請依所選程序採用最大可信軸向壓縮力。這個工況可能來自完整調壓壓力下的卡死或外部擋塊，而不是正常工作負載。可使用[氣缸出力計算器](/zh-hant/online-tools/cylinder-force-calculator/)與[有效活塞面積指南](/zh-hant/blog/how-do-you-calculate-effective-piston-area-for-maximum-double-acting-cylinder-performance/)建立該負載工況中的壓力－面積關係。

如果製造商的挫屈方法明確要求使用最大產生力，就不要任意扣除一個效率百分比。請遵循該方法的假設。

> Figure: 四項來源輸入必須分開記錄。材料假設錯誤、截面錯誤、只用行程作為長度，或端部條件沒有依據，都不能靠正確的方程式補救。

## 如何選擇有效長度係數 K？

MIT 列出四種理想端部約束並定義 L e = K L L_e=KL ；兩端鉸接案例的 K = 1 K=1 （[MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-002-mechanics-and-materials-ii-spring-2004/9aebe9fc6669d928aa716a5033cc9c9f_lab_1_s04.pdf)）。常見的 2.0、1.0、約 0.7 與 0.5 都屬於理想柱模型，不能直接套用到氣缸安裝名稱。

| 理想端部條件 | 理論 K K | 相同 L L 下的相對歐拉載重 |
| --- | --- | --- |
| 固定－自由 | 2.0 | 0.25 |
| 鉸接－鉸接 | 1.0 | 1.00 |
| 固定－鉸接 | 約 0.7 | 約 2.04 |
| 固定－固定 | 0.5 | 4.00 |

在其他輸入都不變時，相對載重由 R K = 1 / K 2 R_K=1/K^2 計算。這些數值用來說明約束的影響，不能證明法蘭必然是完美固定端，也不能證明叉形接頭在每一個平面都等同理想鉸接。

有效長度係數（K） 是把實體無支撐長度換算成特定挫屈模態與端部約束模型之等效歐拉柱長度的係數。它不是用來修正側向負載、對心誤差、摩擦、衝擊或未知支撐的係數。

選擇 K K 前，先建立真實組件的對應模型：

- 找出兩端限制側向位移的位置。

- 判斷每一端能否在可能的挫屈平面內旋轉。

- 納入支架、桿端接頭、叉形銷、軸承、滑座與機架的撓性。

- 檢查互相垂直的兩個平面是否具有不同約束。

- 若氣缸製造商的程序已定義安裝案例，請使用該案例。

Festo 的公開範例選用安全係數 5，並在該方法中把不利的擺動安裝挫屈長度近似為行程的兩倍（[Festo](https://www.festo.com/media/cms/media/mam_upload/market/Festo_General_operating_conditions_en.pdf)）。這是特定模型的規則，不代表每一支樞軸安裝氣缸都適用 K = 2 K=2 。

如果端部行為無法提出合理依據，該怎麼辦？初步篩查時使用較保守且有文件依據的案例，再取得製造商審查、經驗證的結構模型或測試結果。不能只因機構看起來「部分固定」，就自行杜撰一個中間係數。

## 如何計算實心桿與中空桿的 I？

MIT 給出的實心圓形截面公式為 I = π d 4 / 64 I=\pi d^4/64 （[MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-002-mechanics-and-materials-ii-spring-2004/9aebe9fc6669d928aa716a5033cc9c9f_lab_1_s04.pdf)）。由於直徑取四次方，截面量測會大幅影響結果。請使用參與柱彎曲的最小結構截面，不要使用活塞缸徑或裝飾性外部尺寸。

實心圓桿：

I s o l i d = π d 4 64 I_{\mathrm{solid}} = \frac{\pi d^4}{64}

其中 d d 是受評估活塞桿截面的實際直徑。

中空圓桿：

I h o l l o w = π ( D 4 − d i 4 ) 64 I_{\mathrm{hollow}} = \frac{\pi\left(D^4-d_i^4\right)}{64}

其中 D D 是外徑， d i d_i 是內徑。兩個尺寸必須使用相同單位。

任何截面都可先計算面積 A A 與迴轉半徑 r r ：

r = I A r = \sqrt{\frac{I}{A}}

細長比為：

λ = L e r \lambda = \frac{L_e}{r}

細長比 是有效長度除以截面的迴轉半徑。數值越大，表示柱越細長，但它不會為所有材料與產品提供通用的通過／不通過門檻。歐拉理論要求預測反應仍處於彈性細長柱範圍內。

### 能正確閉合的單位組合

| 模數 | 慣性矩 | 長度 | 結果 |
| --- | --- | --- | --- |
| N / m m 2 \mathrm{N/mm^2} | m m 4 \mathrm{mm^4} | m m \mathrm{mm} | N |
| Pa，或 N / m 2 \mathrm{N/m^2} | m 4 \mathrm{m^4} | m | N |

不能把以 GPa 表示的 E E 直接代入毫米制方程式，必須先換算。例如， E = 200   G P a E=200\ \mathrm{GPa} 應換算成 E = 200,000   N / m m 2 E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2} 。

螺紋、扳手平面、溝槽、鑽孔通道或直徑階差，都可能形成較小的關鍵截面。局部特徵是否會控制整體歐拉挫屈，取決於其位置、長度、剛性與所選結構模型。如果製造商型錄已提供計算方法，請使用其中定義的活塞桿直徑。

## 計算範例：20 mm 實心桿、長度 800 mm

Parker 的 P1F 型錄範例使用最大活塞推力並進行四倍挫屈安全檢查，同時針對該產品程序建議 3.5 至 5 的安全係數（[Parker](https://dev.parker.com/content/dam/Parker-com/Literature/Pneumatics-Division-Europe/PDE-Documents/Cylinders/Parker_Pneumatic_P1F_ISO_Cylinders_Technical_Catalogue---PDE3570TCEN.pdf)）。以下工作表使用另一支理想活塞桿，只用來示範單位與端部條件的敏感度。

假設：

- 實心活塞桿直徑 d = 20 m m d=20\ \mathrm{mm} ；

- 實體無支撐長度 L = 800 m m L=800\ \mathrm{mm} ；

- 示範用鋼材模數 E = 200,000 N / m m 2 E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2} ；

- 第一個案例 K = 1.0 K=1.0 ；

- 示範用安全係數 S F = 4 S_F=4 ；以及

- 施加的軸向壓縮力 P a p p l i e d = 4,000 N P_{\mathrm{applied}}=4{,}000\ \mathrm{N} 。

先計算面積慣性矩：

I = π ( 20   m m ) 4 64 ≈ 7,854   m m 4 I = \frac{\pi\left(20\ \mathrm{mm}\right)^4}{64}
\approx 7{,}854\ \mathrm{mm^4}

計算有效長度：

L e = K L = 1.0 ( 800   m m ) = 800   m m L_e = K L = 1.0\left(800\ \mathrm{mm}\right)
= 800\ \mathrm{mm}

接著計算理想歐拉載重：

P c r = π 2 E I L e 2 = π 2 × 200000 × 7854 800 2 ≈ 24224   N P_{\mathrm{cr}} =
\frac{\pi^2 E I}{L_e^2}
=
\frac{\pi^2 \times 200000 \times 7854}{800^2}
\approx 24224\ \mathrm{N}

採用示範用係數 4：

P a l l o w = P c r S F = 24,224   N 4 ≈ 6,056   N P_{\mathrm{allow}} =
\frac{P_{\mathrm{cr}}}{S_F}
= \frac{24{,}224\ \mathrm{N}}{4}
\approx 6{,}056\ \mathrm{N}

與 4,000 N 施加壓縮載重相比的篩查比值為：

R s c r e e n = P a l l o w P a p p l i e d = 6,056 4,000 ≈ 1.51 R_{\mathrm{screen}} =
\frac{P_{\mathrm{allow}}}{P_{\mathrm{applied}}}
= \frac{6{,}056}{4{,}000}
\approx 1.51

現在只把理想端部條件改成固定－自由， K = 2.0 K=2.0 。有效長度變成 1,600 mm，因此歐拉載重降為四分之一：

P c r , K = 2 = 24,224   N 2 2 ≈ 6,056   N P_{\mathrm{cr},K=2}
= \frac{24{,}224\ \mathrm{N}}{2^2}
\approx 6{,}056\ \mathrm{N}

使用相同的示範用係數 4：

P a l l o w , K = 2 = 6,056   N 4 ≈ 1,514   N P_{\mathrm{allow},K=2}
= \frac{6{,}056\ \mathrm{N}}{4}
\approx 1{,}514\ \mathrm{N}

4,000 N 的施加載重低於第一個案例的示範允許值，卻高於第二個案例。活塞桿材料與直徑完全沒有改變；僅端部約束假設就翻轉了篩查結果。

如果試算表把 K K 隱藏在單一「有效長度」儲存格內，這項錯誤就很難稽核。請讓實體長度與端部條件係數保持可見，並記錄所選約束的適用理由。

[Tool Cylinder sizing Cylinder Rod Buckling Calculator 輸入活塞桿直徑、無支撐長度、端部條件、壓縮力與安全係數，先篩查歐拉臨界載重，再核對該款氣缸的精確型錄。 Buckling Load = pi^2 x E x I / Effective Length^2 Rod diameter Unsupported length End condition factor Applied compression force Open calculator ->](/zh-hant/online-tools/pneumatic-cylinder-rod-buckling-calculator/)

## 為什麼直徑的影響比長度更大？

把 MIT 的歐拉載重方程式與實心圓形截面公式合併，可得 P c r ∝ d 4 / L e 2 P_{\mathrm{cr}}\propto d^4/L_e^2 （[MIT OpenCourseWare](https://ocw.mit.edu/courses/2-002-mechanics-and-materials-ii-spring-2004/9aebe9fc6669d928aa716a5033cc9c9f_lab_1_s04.pdf)）。材料與約束不變時，直徑增加 25% 會使理想載重變為約 2.44 倍；有效長度增加 50% 則會使其降為約 0.44 倍。

對兩支材料相同的實心桿：

P c r , 2 P c r , 1 = ( d 2 d 1 ) 4 ( L e , 1 L e , 2 ) 2 \frac{P_{\mathrm{cr},2}}{P_{\mathrm{cr},1}}
=
\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4
\left(\frac{L_{e,1}}{L_{e,2}}\right)^2

這個比值很實用，因為模數與共同常數會相互抵消。但仍須檢查實際活塞桿直徑、有效長度、施加力與製造商限制。

可直接得到以下三項敏感度檢查：

- 直徑從 20 增加至 25 mm，理想載重變為 ${(25/20)^4 \approx 2.44} 倍。

- 有效長度從 800 增加至 1,200 mm，理想載重變為 ${(800/1200)^2 \approx 0.44} 倍。

- K K 從 1 改為 2，理想載重變為 ${(1/2)^2 = 0.25} 倍。

> Figure: 直徑具有四次方效應，有效長度則具有反平方效應。只有在相同歐拉模型仍然有效時，這些比值才適用。

缸徑較大不等於挫屈裕量較大。壓力不變時，缸徑增加會提高氣缸最大推力；相對應的活塞桿可能也會加粗，但出力增幅與截面 d 4 d^4 的增幅，必須以精確產品組態比較。

## 什麼時候不應再使用歐拉計算結果？

Festo 在其公開活塞桿圖表中選用安全係數 5，Parker 則針對本文引用的 P1F 挫屈程序建議 3.5 至 5（[Festo](https://www.festo.com/media/cms/media/mam_upload/market/Festo_General_operating_conditions_en.pdf)、[Parker](https://dev.parker.com/content/dam/Parker-com/Literature/Pneumatics-Division-Europe/PDE-Documents/Cylinders/Parker_Pneumatic_P1F_ISO_Cylinders_Technical_Catalogue---PDE3570TCEN.pdf)）。不同的方法證明，單獨的歐拉結果不能當成通用產品核准。

在下列情況下，不應再把簡化結果視為充分依據：

- 構件短到可能由降伏或非彈性挫屈控制；

- 計算所得的臨界應力接近材料的比例限或降伏範圍；

- 負載偏心作用，或初始彎曲明顯；

- 活塞桿承受橫向負載，或同時為負載提供導向；

- 支撐剛性或端部轉動無法對應到經驗證的案例；

- 螺紋、溝槽、中空、階梯或局部縮徑截面控制剛性；

- 壓力、衝擊、振動、重力或卡死造成多種壓縮工況；

- 製造商公布更嚴格的行程－載重圖表；或

- 失效後果要求經驗證的分析或實體測試。

歐拉臨界應力可寫成：

σ c r = P c r A = π 2 E λ 2 \sigma_{\mathrm{cr}} =
\frac{P_{\mathrm{cr}}}{A}
= \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}

這個形式有助於檢查理想臨界應力是否仍處於彈性範圍，但不會提供允許材料應力、通用細長比邊界或完整的非彈性柱模型。

側向負載必須另外計算。歐拉推導假設理想筆直構件承受軸向壓縮；即使臨界載重結果有利，也不代表活塞桿可以支撐偏置負載。若對心或導向不確定，請查閱[線性致動器側向負載指南](/zh-hant/blog/what-is-side-loading-on-linear-actuators-and-how-can-it-destroy-your-equipment/)與[活塞桿撓度指南](/zh-hant/blog/deflection-calculations-for-piston-rods-in-horizontal-extension/)。

請依照以下證據順序：

- 建立最大可信壓縮載重。

- 以已記錄的單位與假設執行透明的歐拉篩查。

- 套用該款產品的精確安全係數或允許載重程序。

- 檢查製造商目前的行程－載重表與安裝表。

- 分別評估側向負載、衝擊、緩衝、支架與導向。

- 如果不符合模型適用邊界，交由製造商審查、進行 FEA 或測試。

ISO 15552 確認其所定義氣缸系列與壓力等級的尺寸可互換性，但不會公布一個通用的活塞桿挫屈能力。兩支尺寸可互換的氣缸，仍可能具有不同的活塞桿尺寸、材料、允許行程、安裝案例與型錄限制。

## 歐拉挫屈公式常見問題

SMC 要求使用者在挫屈表中考量氣缸最大產生力；Parker 則在本文引用的 P1F 方法中建議 3.5 至 5 的係數。以下五個常見問題涵蓋最常改變計算結果的工作表選擇：實體長度、 K K 、安全係數、壓力，以及歐拉篩查與產品核准之間的界線。

### 可以直接把氣缸行程當成無支撐長度嗎？

不一定。行程是致動器的移動距離，無支撐長度則是活塞桿在機台最不利位置可能彎曲的實體柱長。外露活塞桿、活塞支撐、軸承、桿端轉接件、接頭與外部支撐都可能改變這項長度。請採用所選製造商方法規定的幾何形狀與長度定義。

### 叉形接頭安裝的氣缸應使用哪個 K 值？

叉形接頭在一個平面內可能近似理想鉸接，但另一端、支架撓性、軸承間隙與負載連接方式也會控制挫屈模態。不能只因為看到「叉形接頭」就指定 K = 1 K=1 。請使用氣缸製造商的安裝案例或有文件依據的結構模型。

### 歐拉載重應套用多少安全係數？

氣動應用沒有通用數值。Parker 在本文引用的 P1F 程序中建議 3.5 至 5，Festo 在所引用的圖表中使用 5。請先遵循該款氣缸的確切方法，再評估負載不確定性、動態效應、對心、失效後果與適用機械要求，之後才能接受所選係數。

### 提高空氣壓力會改變歐拉臨界載重嗎？

當 E E 、 I I 、 K K 與 L L 維持不變時，壓力不會直接改變 P c r P_{\mathrm{cr}} 。但壓力可能提高氣缸施加的壓縮力，因而縮小操作裕量。每次調整調壓壓力後，都應重新計算最大推力，並與允許挫屈載重比較。

### 通過歐拉計算就能證明氣缸適用嗎？

不能。這項計算只篩查理想軸向受壓活塞桿的穩定性。最終選型仍須查核該製造商的精確行程－載重表，並分別檢查側向負載、對心、衝擊、緩衝、安裝強度、壓力額定值、速度、溫度與環境。若理想柱假設無法代表實際組件，應使用 FEA 或實體測試。

### 資料來源與技術參考

- [MIT OpenCourseWare：細長柱的彈性挫屈](https://ocw.mit.edu/courses/2-002-mechanics-and-materials-ii-spring-2004/9aebe9fc6669d928aa716a5033cc9c9f_lab_1_s04.pdf)，2026 年 7 月 23 日查閱。

- [SMC：氣缸選型技術資料](https://www.smcworld.com/catalog/BEST-technical-data-en/pdf/AirCylinder-Select-Tech_en.pdf)，2026 年 7 月 23 日查閱。

- [Festo：一般操作條件與挫屈載重圖](https://www.festo.com/media/cms/media/mam_upload/market/Festo_General_operating_conditions_en.pdf)，2026 年 7 月 23 日查閱。

- [Parker：P1F ISO 氣動氣缸技術型錄](https://dev.parker.com/content/dam/Parker-com/Literature/Pneumatics-Division-Europe/PDE-Documents/Cylinders/Parker_Pneumatic_P1F_ISO_Cylinders_Technical_Catalogue---PDE3570TCEN.pdf)，2026 年 7 月 23 日查閱。

- [ISO 15552:2018：具可拆式安裝件的氣動氣缸](https://www.iso.org/standard/66921.html)，2026 年 7 月 23 日查閱。