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    "summary": "使用雙氣室剛性模型、絕對壓力、無效容積、等效質量、阻尼與行程位置檢查，計算氣動系統的固有頻率。",
    "content_markdown": "# 如何計算固有頻率，避免氣動系統發生代價高昂的共振故障？\n\n氣動氣缸固有頻率 是氣缸、移動負載與相連結構在特定運轉狀態附近的自由振盪頻率。進行初步篩選時，應先在指定活塞位置求出兩側氣室的面積與容積，使用氣室絕對壓力計算總氣動剛性，再套用質量－彈簧系統的固有頻率公式。\n\n這個結果不是通用的氣缸額定值。閥的狀態、氣管容積、安裝柔度、摩擦、結構模態、控制迴路特性、負載變化與活塞位置，都會改變實測響應。把各項假設明確記錄下來，並在完整組裝的機器上驗證預測結果，這項計算才最有價值。\n\n> 重點摘要 雙作用氣缸在兩側氣室都封閉時，會形成 2 個氣動彈簧。 壓力必須使用絕對壓力，而且每側氣室容積都必須包含無效容積。 在本文算例中，預測頻率從行程中點的 4.82 Hz 變為接近一端時的 6.83 Hz。 阻尼與激振頻率共同決定固有頻率是否會形成破壞性共振。\n\n在建立任何動態模型之前，應先完成靜態負載檢查；請參閱我們的[氣缸出力公式指南](/zh-hant/blog/what-is-the-cylinder-formula-for-pneumatic-systems/)。如果機器是撞擊端蓋，而不是在某個位置附近振盪，則應改用[氣動氣缸緩衝指南](/zh-hant/blog/how-does-pneumatic-cylinder-cushioning-work-to-prevent-damage-and-noise/)。\n\n## 從正確的氣動模型開始\n\nDoll、Neumann 與 Sawodny 將氣動氣缸建模為連接空氣彈簧的 1 個移動質量；兩側氣室均封閉，因此各氣室內的壓縮空氣質量保持不變（[運動任務用氣動氣缸的尺寸設計](https://journals.riverpublishers.com/index.php/IJFP/article/download/195/81/509)，2015）。這些邊界條件定義了本文採用的初步篩選計算。\n\n![用於說明雙作用單桿氣缸配置的 ISO 15552 拉桿式氣動氣缸](https://assets.rodlesspneumatic.com/images/blog/how-to-calculate-natural-frequency-to-prevent-costly-resonance-failures-in-your-pneumatic-system/wp-mb-series-iso15552-tie-rod-pneumatic-cylinder.jpg)\n\n實際的方向控制閥會改變模型。如果閥讓一側氣室連接供氣、另一側連接排氣，氣室內的空氣質量就不再固定。伺服閥與控制器可能增加等效剛性及阻尼，長氣管或儲氣容器則會增加容積並引入流動動態。引用頻率數值前，務必說明閥的狀態。\n\n最簡單且實用的模型包含以下要素：\n\n- 氣室 1 的壓力、面積與總容積；\n\n- 氣室 2 的壓力、面積與總容積；\n\n- 活塞、活塞桿或滑台、有效負載，以及其他機械移動質量；\n\n- 來自摩擦、密封件、導向件、流道與相連結構的阻尼；\n\n- 確實與氣動剛性並聯作用的任何機械剛性。\n\n> Figure: 雙作用氣缸保持在特定運轉位置附近時的初步篩選模型。下方公式把兩個封閉氣室視為氣動彈簧；完整組裝的機器可能還有其他模態。\n\n不要把附近所有零組件的剛性都直接加成一個數值。舉例來說，與氣缸串聯彎曲的支架會降低組合剛性；並聯的復歸彈簧則會增加剛性。柔性機架可能產生獨立模態，需要使用多自由度模型或有限元素分析。\n\n首先最值得問的不是「這支氣缸的固有頻率是多少？」，而是「我們正在計算哪一種物理狀態與哪一個模態？」氣口封閉、停在行程中點的氣缸，與同一支氣缸透過節流閥移動時，是兩個不同的動態系統。\n\n## 如何計算氣室面積與容積？\n\n一項雙作用氣缸實驗模型使用 2 個有效活塞面積，並把各側氣室容積定義為端部無效容積加上隨位置改變的掃掠容積（[雙作用氣動氣缸實驗研究](https://link.springer.com/article/10.1007/s40799-020-00359-8)，2020）。這種結構可避免一項常見錯誤：兩側都使用完整活塞面積與完整行程容積。\n\n對缸徑為 D D 、活塞桿直徑為 d d 的單桿氣缸：\n\nA 1 = π D 2 4 A_1 = \\frac{\\pi D^2}{4}\n\nA 2 = A 1 − π d 2 4 A_2 = A_1 - \\frac{\\pi d^2}{4}\n\n當直徑以公尺輸入時， A 1 A_1 是無桿側有效面積， A 2 A_2 是活塞桿側的環形面積，兩者單位均為平方公尺。只有內部結構確實支持此假設時，才能把無桿氣缸的兩側有效面積視為相等。\n\n若活塞位置 x x 從無桿側量起，兩側氣室容積為：\n\nV 1 = V d 1 + A 1 x V_1 = V_{d1} + A_1 x\n\nV 2 = V d 2 + A 2 ( L − x ) V_2 = V_{d2} + A_2(L-x)\n\nL L 是以公尺表示的總行程。 V d 1 V_{d1} 與 V d 2 V_{d2} 是兩側的無效容積，包括端蓋空腔、氣口、接頭、感測器通道，以及任何仍屬於受困氣體一部分的連接氣管容積。所有容積都應以立方公尺輸入。\n\n氣管容積很容易被低估。遠端安裝的閥或長軟管會增加壓縮空氣容積，卻不會增加活塞面積，因此會降低氣動剛性。[氣動氣管容積計算器](/zh-hant/online-tools/pneumatic-tube-volume-calculator/)可協助量化這項輸入，但不會計算固有頻率。\n\n剛性公式必須使用絕對壓力。把表壓讀值加上當地大氣壓力，並確保單位一致，即可換算。海平面附近的名義 6 bar 表壓供氣約為 7 bar 絕對壓力，但氣缸保持位置或運動時的實際氣室壓力，可能與調壓閥設定值不同。\n\n## 如何計算氣動剛性與固有頻率？\n\nCzmerk 對雙作用氣缸的分析顯示，被動剛性會沿行程改變，而且接近端部位置時無效容積相當重要（[提高雙作用氣動氣缸的剛性](https://www.analecta.hu/index.php/analecta/article/view/181)，2015）。 氣動剛性 是系統在特定狀態附近，活塞每單位位移所產生的增量恢復力。將兩個封閉氣室線性化後，可得到以下模型。\n\nk p = n P 1 A 1 2 V 1 + n P 2 A 2 2 V 2 k_p = nP_1\\frac{A_1^2}{V_1} + nP_2\\frac{A_2^2}{V_2}\n\nk p k_p 是氣動剛性，單位為牛頓／公尺。 P 1 P_1 與 P 2 P_2 是氣室絕對壓力，單位為帕斯卡。 A 1 A_1 與 A 2 A_2 是有效面積，單位為平方公尺。 V 1 V_1 與 V 2 V_2 是總壓縮容積，單位為立方公尺。無因次的多變指數 n n 描述微小壓力－容積變化期間的熱傳行為。\n\n對理想化氣體行為而言， n = 1 n=1 代表等溫過程， n = 1.4 n=1.4 代表絕熱過程，中間狀態則介於兩者之間（[以氣動物理為基礎的空氣彈簧動態剛性神經網路建模](https://www.mdpi.com/2227-7390/14/6/1057)，2026）。該來源研究的是空氣彈簧，因此這個範圍只能作為氣體過程的參考，不能視為通用氣缸試驗值。如果沒有經驗證的數值，應進行敏感度分析，而不是隱藏這項假設。\n\n如果機械彈簧與氣動彈簧並聯作用，其剛性可以加到 k p k_p 。除非負載路徑證明機架、支架、聯軸器或導向件確實為並聯，否則不要直接相加。正確組合後的結果稱為 k t o t a l k_{\\mathrm{total}} 。\n\n無阻尼固有頻率為：\n\nf n = 1 2 π k t o t a l m e f f f_n = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k_{\\mathrm{total}}}{m_{\\mathrm{eff}}}}\n\nf n f_n 的單位為赫茲， k t o t a l k_{\\mathrm{total}} 的單位為牛頓／公尺， m e f f m_{\\mathrm{eff}} 的單位為公斤。等效質量通常包括有效負載、活塞與活塞桿或滑台、工具，以及柔性連結件中適當比例的移動質量。不要把壓縮空氣的質量當成與負載一起剛性平移的質量。\n\n對輕阻尼單模態估算，阻尼自由振動頻率為：\n\nf d = f n 1 − ζ 2 f_d = f_n\\sqrt{1-\\zeta^2}\n\nζ \\zeta 是阻尼比。只有在單一模態占主導，且阻尼可近似為黏性阻尼時，這項關係才適用。密封摩擦與黏滑現象屬於非線性行為，因此低速運動可能不符合此模型。\n\n## 算例：行程中點的 63 mm 缸徑氣缸\n\n使用上述雙氣室公式，針對缸徑 63 mm、活塞桿直徑 20 mm、行程 400 mm、等效質量 25 kg、每側無效容積 50 cm³、兩側氣室絕對壓力 7 bar，且 n = 1.2 n=1.2 的氣缸，預測行程中點固有頻率為 4.82 Hz。這是模型結果，不是型錄額定值。\n\n假設活塞位於 x = 0.200   m x=0.200\\ \\mathrm{m} ，第一次計算先忽略額外機械剛性。\n\n| 輸入 | 數值 |\n| --- | --- |\n| 缸徑， D D | 0.063 m |\n| 活塞桿直徑， d d | 0.020 m |\n| 行程， L L | 0.400 m |\n| 位置， x x | 0.200 m |\n| 每側氣室無效容積 | 0.000050 m³ |\n| 各側氣室絕對壓力 | 700,000 Pa |\n| 多變指數， n n | 1.2 |\n| 等效移動質量， m e f f m_{\\mathrm{eff}} | 25 kg |\n\n計算所得面積為 A 1 = 0.003117   m 2 A_1=0.003117\\ \\mathrm{m^2} 與 A 2 = 0.002803   m 2 A_2=0.002803\\ \\mathrm{m^2} 。行程中點的氣室總容積為 V 1 = 0.000673   m 3 V_1=0.000673\\ \\mathrm{m^3} 與 V 2 = 0.000611   m 3 V_2=0.000611\\ \\mathrm{m^3} 。\n\n兩側氣室的剛性貢獻約為 12,120 N/m 與 10,809 N/m：\n\nk p = 12120 + 10809 = 22929   N / m k_p = 12120 + 10809 = 22929\\ \\mathrm{N/m}\n\n代入 25 kg 等效質量：\n\nf n = 1 2 π 22929 25 = 4.82   H z f_n = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{22929}{25}} = 4.82\\ \\mathrm{Hz}\n\n如果等效質量加倍而剛性不變，會發生什麼事？固有頻率會依質量比的平方根下降，因此新數值約為 f n = 3.41   H z f_n=3.41\\ \\mathrm{Hz} 。反過來說，如果減輕質量卻沒有檢查激振頻率，可能會讓共振頻率上移並落入另一個運轉諧波。\n\n請把試算表當作敏感度模型。每次只改變一項不確定輸入，包括無效容積、 n n 、氣室壓力、移動質量與結構剛性。與其得到單一漂亮答案，能夠揭示哪一項量測最重要且具備合理依據的頻率範圍，往往更有用。\n\n## 為什麼固有頻率會隨行程位置改變？\n\n對具有相等無效容積與相等氣室壓力的無桿氣缸，Doll 等人在簡化模型中指出，中間位置是剛性最低的位置（[運動任務用氣動氣缸的尺寸設計](https://journals.riverpublishers.com/index.php/IJFP/article/download/195/81/509)，2015）。單桿氣缸並不對稱，但兩側氣室容積仍會隨活塞位置持續變化。\n\n在 5 個位置套用同一組算例輸入，可得到以下模型結果：\n\n| 距無桿側端部的位置 | 氣動剛性 | 預測固有頻率 |\n| --- | --- | --- |\n| 50 mm | 46,051 N/m | 6.83 Hz |\n| 100 mm | 29,974 N/m | 5.51 Hz |\n| 200 mm | 22,929 N/m | 4.82 Hz |\n| 300 mm | 28,267 N/m | 5.35 Hz |\n| 350 mm | 41,863 N/m | 6.51 Hz |\n\n在此算例中，最低值接近行程中點，因為該處兩側的壓縮容積都相對較大。接近行程端部時，其中一側氣室容積變小，其剛性貢獻便會急遽上升。實際壓力可能不相等，而不相等的無效容積也會使最低點偏移。\n\n![用於說明滑台質量、長行程氣室容積與導向效應的機械接合式無桿氣缸](https://assets.rodlesspneumatic.com/images/blog/how-to-calculate-natural-frequency-to-prevent-costly-resonance-failures-in-your-pneumatic-system/wp-my1b-mechanical-joint-rodless-cylinder.jpg)\n\n無桿氣缸的固有頻率不一定較高。取消活塞桿可能降低移動質量，但長行程會增加氣室容積，而滑台、導向件、密封帶、磁耦合、負載偏心與安裝跨距都可能引入柔度或其他模態。請在相同運轉狀態下比較完整移動組件。\n\n這也說明了為什麼實測問題可能只出現在某一段行程。應在真正重要的運轉位置重複計算與測試，包括帶載起點、行程中點、製程位置與接近行程端部的位置。若要檢查安裝效應，請參閱[致動器安裝與對心指南](/zh-hant/blog/how-can-proper-mounting-and-alignment-extend-your-actuators-service-life-by-300/)及[無桿氣缸安裝指南](/zh-hant/blog/rodless-cylinder-mounting-guide-avoiding-common-installation-errors/)。\n\n## 共振取決於阻尼與激振\n\n在頻率比 r = 1 r=1 時，線性單自由度模型在 ζ = 0.05 \\zeta=0.05 的位移放大倍數為 10，但在 ζ = 0.20 \\zeta=0.20 時只有 2.5。計算使用下方的標準受迫響應公式。這也說明為什麼任何固定的「10 至 50 倍」說法，都無法描述每一部氣動機器。\n\n頻率比 是激振頻率除以固有頻率，定義如下：\n\nr = f e x c f n r = \\frac{f_{\\mathrm{exc}}}{f_n}\n\nf e x c f_{\\mathrm{exc}} 是激振頻率， f n f_n 是計算所得固有頻率。對受到諧波激振的線性單模態系統，位移放大倍數為：\n\nM ( r ) = 1 ( 1 − r 2 ) 2 + ( 2 ζ r ) 2 M(r) = \\frac{1}{\\sqrt{(1-r^2)^2+(2\\zeta r)^2}}\n\nM M 是穩態位移振幅與對應靜態位移的比值。當 r = 1 r=1 時，可簡化為 M = 1 / ( 2 ζ ) M=1/(2\\zeta) 。阻尼低時會形成較尖銳的峰值；增加阻尼則會降低並展寬峰值。此公式不適用於硬止擋、間隙撞擊、強烈非線性的密封摩擦、閥飽和或多個耦合模態。\n\n哪些因素算是激振？請檢查指令循環頻率、運動曲線諧波、閥切換、附近旋轉設備、輸送機齒或料穴通過頻率、壓縮機脈動，以及反覆的端部撞擊。一秒一次的機器循環，其基頻為 1 Hz，但加速度波形可能含有高得多的諧波。\n\n不要把每個振動峰值都稱為氣動共振。如果改變氣室壓力會使峰值移動，代表氣動剛性很可能參與其中。如果峰值幾乎不變，但安裝方式或有效負載改變時會受到影響，則可能由結構模態主導。如果振盪強烈取決於控制器增益、死區或取樣設定，則應檢查控制迴路。\n\n## 如何在機器上驗證計算結果？\n\n一項雙作用氣缸研究以每 0.1 ms 一次的頻率同步取樣壓力與位移，並在每個條件下重複 45 次，以描述其動態行為（[雙作用氣動氣缸實驗研究](https://link.springer.com/article/10.1007/s40799-020-00359-8)，2020）。工廠檢查不必完全複製這套實驗室程序，但應同步記錄運動、壓力與振動訊號。\n\n請依以下順序進行：\n\n- 定義狀態。 記錄活塞位置、有效負載、安裝方向、兩側氣室壓力、閥指令、調壓閥設定、流量控制設定、氣管尺寸、導向件狀況及安裝配置。\n\n- 確保測試安全。 讓人員遠離運動區域，盡可能降低能量，且未經核准的測試計畫，不得以完整生產出力掃過疑似共振區域。\n\n- 量測正確的訊號。 在移動滑台或負載上安裝加速度計；條件允許時，再於機架上安裝另一個加速度計。同時量測兩側氣室壓力，以及位置或速度。\n\n- 溫和激振。 使用低振幅指令掃頻、受控階躍，或適合該機器且有文件依據的衝擊測試。端蓋撞擊不能取代安全的激振方法。\n\n- 找出可重現的峰值。 比較重複測試的頻譜、相位、衰減振盪頻率，以及壓力－位置行為。\n\n- 每次改變一項參數。 使用已知的質量、壓力或位置變化重複測試。有效模型應能預測頻率變化的方向。\n\n根據我們的經驗，最快能改善診斷品質的方法，是同時記錄兩側氣室壓力，而不是只依賴調壓閥壓力表。調壓閥顯示的是供氣設定，無法證明振動發生時氣缸內的受困壓力、排氣背壓或動態壓力。\n\n2005 年的氣動伺服辨識研究量測固有頻率與活塞位置的關係，並以該曲線協助控制器設計（Noskievi，[利用自激振盪辨識氣動伺服系統](https://doi.org/10.5739/isfp.2005.352)，2005）。這項研究提醒我們：對受控定位而言，頻率分布圖可能比單一行程中點數值更重要。\n\n[ISO 20816-1:2016](https://www.iso.org/standard/63180.html)提供完整機器振動量測與評估的一般條件及程序，可作為工廠振動管理的參考；但它沒有提供通用的氣動氣缸共振限值，也不能取代應用專屬的頻率模型與驗收標準。\n\n## 頻率太接近時應調整什麼？\n\n在封閉氣室模型中，若剛性不變而移動質量加倍，固有頻率會降至原值的約 70.7%。Doll 等人同樣指出，質量加倍後若要維持相同固有頻率，就必須相應調整與剛性相關的尺寸條件（[運動任務用氣動氣缸的尺寸設計](https://journals.riverpublishers.com/index.php/IJFP/article/download/195/81/509)，2015）。\n\n請選擇真正作用於已辨識機制的改善方法：\n\n- 移動激振頻率。 調整循環時間、加速度斜坡、停留時間、閥切換或附近旋轉設備轉速，避免主要諧波持續激發該模態。\n\n- 有目的地改變移動質量。 剛性不變時，減輕質量會提高固有頻率；增加質量則會降低固有頻率。兩個方向都可能改善或惡化問題，因此必須重新計算完整運轉範圍。\n\n- 改變氣動剛性。 氣室壓力、活塞面積、受困容積、無效容積與閥的狀態都會影響剛性。提高壓力可能增加剛性，但也會改變可用出力與儲存能量。未檢查元件額定值與機器風險前，絕不能把壓力當成單純的調諧旋鈕。\n\n- 修正負載路徑。 如果實測模態來自結構，應加強柔性支架、縮短無支撐跨距、排除卡滯，或增設合適的導向件。不能用安裝螺栓把未對心的零件強行拉到定位。\n\n- 在能安全消散能量的位置增加阻尼。 阻尼器、緩衝器、氣缸緩衝或控制策略都必須與目標模態相符。行程端部撞擊應納入[緩衝能量檢查](/zh-hant/blog/what-causes-cylinder-cushion-failures-and-how-can-you-diagnose-problems-before-costly-breakdowns/)，而不是套用行程中段的共振公式。\n\n- 辨識受控對象後再重新調整控制器。 降低增益、使用濾波指令、陷波濾波器或增益排程，可能有助於伺服氣動軸，但軟體不應掩蓋鬆動的安裝件、尺寸不足的導向件或撞擊問題。\n\n沒有一個安全百分比間距可通用於所有氣動機器。請定義運轉速度範圍、負載範圍、行程位置、壓力範圍與可信的擾動，再驗證實測響應在整個操作範圍內均可接受。最後應記錄設定，讓維護人員日後能辨識系統是否發生漂移。\n\n## 固有頻率計算常見問題\n\n以下 5 個問題可協助區分初步篩選公式與完整組裝的機器。模型使用 2 個氣室壓力、2 個有效面積、2 個氣室容積、1 個等效質量，以及明確的閥狀態（[Doll 等人](https://journals.riverpublishers.com/index.php/IJFP/article/download/195/81/509)，2015）。缺少其中任何輸入，都可能改變預測模態。\n\n### 循環頻率與固有頻率相同嗎？\n\n不同。循環頻率是受指令控制的運轉頻率；固有頻率則是質量－剛性系統在特定狀態附近的固有特性。1 Hz 循環仍可能包含更高頻率的加速度諧波與撞擊。應比較實測激振頻譜與計算及實測模態，而不是只比較循環頻率。\n\n### 剛性公式應使用表壓還是絕對壓力？\n\n請使用氣室絕對壓力。氣體剛性取決於受困空氣的壓力－容積狀態，表壓並未包含大氣壓力。條件允許時，應在實際運轉狀態量測兩側氣室。調壓閥設定值不能取代無桿側與活塞桿側的實際壓力，尤其在閥、氣管與排氣限制共同作用時。\n\n### 無桿氣缸的固有頻率一定較高嗎？\n\n不一定。無桿設計可能減少活塞桿的移動質量，但固有頻率也取決於滑台與有效負載質量、兩側氣室容積、壓力、導向及安裝剛性、耦合特性與行程位置。長行程可能增加受困容積並引入結構模態，因此必須在相同邊界條件下比較完整組件。\n\n### 什麼情況下必須重新計算？\n\n變更有效負載、工具、活塞位置、工作壓力、氣管或軟管長度、閥狀態、安裝方式、導向剛性、控制設定或運動曲線後，都應重新計算。實測壓力與原始假設不同時也要重算。有用的結果是涵蓋可信運轉條件的頻率範圍，而不是一個永遠不變的單一數字。\n\n### 改變氣缸速度能消除共振嗎？\n\n改變速度可能使激振遠離某個模態，但速度只是其中一項輸入。新的運動曲線可能產生不同諧波，而更快接近行程端部也會增加撞擊能量。調整速度後應量測響應，接著確認緩衝、閥流量、循環時間、控制穩定性，以及完整操作範圍，才能核准放行。\n\n### 資料來源與技術參考\n\n本文在討論各項模型假設、公式、實驗方法或推導結果的位置，直接連結相應的技術來源。\n\n作者與公司資訊請見[關於我們](/zh-hant/about-us/)。讀者可透過[聯絡我們](/zh-hant/contact/)提出技術問題或來源修正建議。"
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