# 伺服氣動：控制迴路中的可壓縮性因子建模

> Source: https://rodlesspneumatic.com/zh-hant/blog/servo-pneumatics-modeling-the-compressibility-factor-in-control-loops/
> Language: zh-Hant

## Summary

以四個核心狀態、ISO 6358 閥流量資料、氣室絕對壓力、局部線性化、參數辨識與保留資料驗證伺服氣動軸。

## Page Content

# 伺服氣動：控制迴路中的可壓縮性因子建模

伺服氣動可壓縮性建模不能把「可壓縮性」塞進一個可調常數。工程模型必須分別描述真實氣體狀態方程、熱過程假設、兩個隨活塞移動而改變的氣室容積、閥門質量流量、活塞力、摩擦與移動質量。如此建立的非線性受控對象，才能在採用控制器前完成參數辨識與獨立驗證。

這個區分很重要，因為伺服氣動定位系統至少包括三個功能元件：具有位移回授的致動器、比例方向閥，以及位置控制器（[Festo](https://www.festo.com/us/en/c/products/actuators-and-drives/servopneumatic-positioning-systems-id_pim185/)，查閱於 2026-07-23）。單用氣缸公式，無法預測完整控制迴路的行為。

> 重點摘要 至少保留四個核心狀態：位置、速度，以及兩個氣室的絕對壓力。 採用 ISO 6358 流量資料或實測閥門特性圖，不要用接口尺寸代替流量模型。 先在明確操作點線性化，再同步驗證壓力與運動，最後才安排控制器增益。

## 可壓縮性因子實際代表什麼？

NIST 將無因次可壓縮性因子 Z Z 定義為真實氣體方程中修正空氣非理想性的項，而不是氣缸剛度或控制器增益（[NIST](https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/IR/nbsir83-2652.pdf)，查閱於 2026-07-23）。因此，伺服氣動模型必須把三種量分開： Z Z 、過程指數，以及氣動彈簧的機械剛度。

若模型以氣體質量為基礎，可寫成：

p V = Z m R T pV = ZmRT

單位與參考狀態不能省略。

其中， p p 是以帕斯卡表示的絕對壓力， V V 是以立方公尺表示的氣體容積， m m 是以公斤表示的空氣質量， R R 是空氣的比氣體常數，而 T T 是以開爾文表示的絕對溫度。令 Z = 1 Z = 1 即可得到理想氣體近似。此近似是否足夠，取決於所需模型精度、壓力、溫度與濕度範圍。 可壓縮性因子 就是上述的真實氣體修正。 多方指數 代表壓縮或膨脹期間假設的熱路徑。它回答的是另一個問題：

p V n = C pV^n = C

指數 n n 描述模型事件中假設的熱傳遞行為，而 C C 在這個理想化過程中保持不變。它不能與 Z Z 互換。快速運動可能接近絕熱，熱交換充分的慢速事件則可能更接近等溫。選定數值必須留有記錄，並與實測壓力比對。

氣動剛度 是局部的力－位移結果。對兩個被封閉的氣室，可用下式作為小訊號近似：

k a i r = n p 1 A 1 2 V 1 + n p 2 A 2 2 V 2 k_{\mathrm{air}} = \frac{n p_1 A_1^2}{V_1} + \frac{n p_2 A_2^2}{V_2}

氣室壓力 p 1 p_1 與 p 2 p_2 必須使用絕對壓力。面積 A 1 A_1 與 A 2 A_2 是有效活塞面積，而容積 V 1 V_1 與 V 2 V_2 包括接口、接頭、管路，以及由相關閥門狀態封閉在閥側的腔體。這個方程描述的是一個操作點，不是完整的移動軸動態。關於此剛度項的物理意義及其沿行程的變化，請參閱另一份 [氣缸控制中的空氣可壓縮性指南](/zh-hant/blog/how-does-air-compressibility-affect-pneumatic-cylinder-control-performance/)。本文從那份說明的終點開始：建立能預測實測壓力與運動的控制模型。

## 最小非線性受控對象模型應包含什麼？

Richer 與 Hurmuzlu 以兩種氣缸和多種連接管長度驗證詳細的氣動致動器模型，並納入非線性閥流量、氣室可壓縮性、洩漏、死容積與氣動管路效應（[ASME](https://doi.org/10.1115/1.1286336)，2000）。實務上的第一版模型可以更小，但不能省略兩個氣室壓力。

兩個壓力狀態都必須保留。

請選擇能顯示儲存氣動能量的狀態向量：

x s = [ x , x ˙ , p 1 , p 2 ] T \mathbf{x}_s = [x,\dot{x},p_1,p_2]^\mathsf{T}

位置是 x x ，速度是 x ˙ \dot{x} ，而 p 1 p_1 與 p 2 p_2 是兩個氣室的絕對壓力。只有當量測證明四狀態模型無法重現所需行為時，才加入閥芯位置、管路狀態、溫度狀態或摩擦狀態。

兩個氣室容積會朝相反方向變化：

V 1 ( x ) = V 10 + A 1 x V_1(x) = V_{10} + A_1 x

V 2 ( x ) = V 20 + A 2 ( L − x ) V_2(x) = V_{20} + A_2(L-x)

V 10 V_{10} 與 V 20 V_{20} 是選定位置原點的有效端部容積，包含間隙和相連死容積。 L L 是可用行程。符號慣例可以反向，但容積、壓力、力和感測器方程式必須全程一致。

在簡化的理想氣體、集總溫度與多方過程模型下，每個氣室可表示為：

p ˙ i = n R T i V i m ˙ i − n p i V i V ˙ i \dot{p}_i = \frac{nRT_i}{V_i}\dot{m}_i - \frac{n p_i}{V_i}\dot{V}_i

m ˙ i \dot{m}_i 是流入第 i i 個氣室的帶符號淨質量流量。這是建模選擇，不是適用於所有暫態的普遍定律。如果熱傳遞、洩漏或溫度變化造成不可接受的殘差，應擴充能量模型，不要把不匹配藏在控制器增益裡。

氣動力與移動負載方程為：

F p = p 1 A 1 − p 2 A 2 F_p = p_1 A_1 - p_2 A_2

M e q x ¨ = F p − F f r i c t i o n − F l o a d − F m e c h a n i c a l M_{\mathrm{eq}}\ddot{x} = F_p - F_{\mathrm{friction}} - F_{\mathrm{load}} - F_{\mathrm{mechanical}}

M e q M_{\mathrm{eq}} 是折算後的移動質量。其餘項分別代表密封件與導向件摩擦、外加負載、適用時的重力，以及機構力。無桿氣缸的名義受壓面積可能相同，但滑台摩擦、密封帶、導向結構與外部機構，仍會讓兩個運動方向呈現不同特性。

依我們的工程經驗，模型階數應由可觀察的誤差決定。先用四個狀態和實測閥門特性圖建立基線；只有當重複出現的殘差能由閥門延遲、管路充填、熱滯後或動態摩擦等物理現象解釋時，才增加狀態。含有未辨識參數的大模型可能貼合試運轉資料，卻在新負載下預測更差。

> Figure: 最小模型保留從閥門命令、質量流量、氣室壓力、活塞作用力到運動與實測回授的因果鏈。

## 閥門質量流量應如何表示？

ISO 6358-1 定義具有固定或可變流路之可壓縮流體元件的穩態測試方法，但不涵蓋氣缸、蓄能器、帶內部回授的調壓器，以及係數不穩定的元件（[ISO](https://www.iso.org/standard/56612.html)，2026 年確認）。可以把標準得到的閥流量資料放進受控對象模型，但不能把它當成動態氣缸測試。

將每個節流邊表示為帶符號的函數：

m ˙ = f ( u , p u , p d , T u ) \dot{m} = f(u,p_u,p_d,T_u)

閥門命令為 u u ，上游絕對壓力為 p u p_u ，下游絕對壓力為 p d p_d ，上游溫度為 T u T_u 。此函數必須區分供氣至氣室和氣室至排氣兩條路徑，並涵蓋阻塞流與次音速區域。單一名義流量值不足以定義這個特性面。

建議依下列優先順序選用輸入資料：

- 確切閥門與驅動電子設備的實測命令－壓力－流量圖。

- 製造商提供且明確標示供氣、下游壓力、溫度與命令條件的曲線。

- 相容型號的 ISO 6358 聲導通率與臨界壓力比資料。

- 幾何形狀與假設均已驗證的流出係數模型。

接口尺寸不是流量模型。

在沒有說明壓力慣例的條件下量得的型錄流量值也不是。如果控制器在閥門死區或飽和附近工作，應明確辨識這些區域；否則壓力模型看似正確，控制輸入卻可能錯誤。閥門到氣缸之間的管路也屬於模型邊界。短管路會減少受控容積，較小的內徑則可能限制質量流量。相關的 [比例閥選型指南](/zh-hant/blog/a-guide-to-proportional-valves-for-precision-motion-control/) 涵蓋硬體尺寸選擇；本文模型應使用所選閥門的實際特性，而不是通用的「伺服閥」常數。

## 如何在明確操作點周圍線性化？

一項 2004 年伺服氣動研究建立兩種局部模型結構：一種是黑箱模型，另一種是納入壓差與摩擦資訊的灰箱模型，接著在不同操作區域安排狀態回授控制器（[Control Engineering Practice](https://doi.org/10.1016/S0967-0661(03)00148-5)，2004）。重點不是通用增益公式，而是每個線性模型都必須對應明確的平衡點與排程變數。

局部模型只能代表局部行為。

將非線性受控對象寫成 x ˙ s = f ( x s , u ) \dot{\mathbf{x}}_s = \mathbf{f}(\mathbf{x}_s,u) 並選擇一個操作點 ( x ˉ s , u ˉ ) (\bar{\mathbf{x}}_s,\bar{u}) 使其符合平衡條件。局部擾動模型為：

δ x ˙ s = A   δ x s + B   δ u \delta\dot{\mathbf{x}}_s = \mathbf{A}\,\delta\mathbf{x}_s + \mathbf{B}\,\delta u

δ y = C   δ x s + D   δ u \delta y = \mathbf{C}\,\delta\mathbf{x}_s + \mathbf{D}\,\delta u

這些矩陣是在指定操作點評估的雅可比矩陣。每組資料都要記錄活塞位置、負載、供氣壓力、氣室壓力、閥門偏壓、溫度假設與運動方向。沒有操作點的傳遞函數並不完整，因為軸移動時氣室容積與閥門壓力比都會改變。

空氣剛度估計值可以協助解讀其中一對極點：

ω n ≈ k a i r + k m e c h a n i c a l M e q \omega_n \approx \sqrt{\frac{k_{\mathrm{air}}+k_{\mathrm{mechanical}}}{M_{\mathrm{eq}}}}

ω n \omega_n 是以弧度／秒表示的無阻尼局部固有頻率，不會自動等於閉迴路頻寬。閥門動態、阻尼、延遲、回授濾波器、飽和、摩擦和未建模結構，都可能改變實測響應。若主要問題是共振而不是控制器合成，請參閱另一份 [固有頻率計算指南](/zh-hant/blog/how-to-calculate-natural-frequency-to-prevent-costly-resonance-failures-in-your-pneumatic-system/)。

增益排程應在已驗證的控制器之間插值，不應只按氣室容積縮放單一比例增益。必須檢查每個排程受控對象，以及控制器在排程點之間的轉換。位置可以是排程變數之一；若生產時負載、壓力、方向或閥門工作區域會變化，它們同樣重要。

## 哪些參數必須在機台上辨識？

一項 2017 年實驗方法研究發現，辨識死容積後，三項實測輸出的模型吻合度都改善：氣室壓力、活塞速度與活塞位置（[Simulation Modelling Practice and Theory](https://doi.org/10.1016/j.simpat.2017.03.008)，2017）。這表示死容積應是量測得到的參數，不是為了讓某條位置曲線看起來正確而任意調出的數值。

可依參數的取得方式分組：

| 參數群組 | 起始資料來源 | 辨識測試 | 驗證訊號 |
| --- | --- | --- | --- |
| 缸徑、有效面積、行程 | 圖面與資料表 | 尺寸檢查 | 端點位置與力平衡 |
| 氣室與相連死容積 | CAD 與管路容積計算 | 隔離式壓力－容積測試 | 兩個氣室壓力曲線 |
| 閥門流量特性面 | 製造商資料 | 受控壓力－流量映射 | 壓力上升與排氣衰減 |
| 閥門死區與延遲 | 電子設備與閥門資料表 | 小幅命令掃描與階躍 | 命令至壓力開始響應 |
| 移動質量與外部負載 | 質量與機構計算 | 已知負載運動測試 | 加速度與力殘差 |
| 摩擦 | 初始密封與導向資料 | 雙向低速與起動脫離測試 | 壓力－力殘差對速度 |
| 洩漏 | 元件限制 | 隔離式保壓測試 | 固定容積下的壓力衰減 |
| 熱行為 | 假設的過程模型 | 重複慢速與快速循環 | 壓力殘差對停留時間與溫度 |

不要只用一次位置階躍辨識所有參數。多組參數組合可能產生相似運動，卻錯誤預測氣室壓力。應盡量使用獨立測試，再保留另一組資料集驗證。如果同一組資料同時用來調校和證明模型，過度擬合可能不易察覺。量測時間基準也很重要。同步記錄閥門命令、可取得時的閥門回授、閥門入口供氣壓力、兩個氣缸接口壓力、位置、負載與時間戳記。靜態調壓器壓力表無法顯示加速期間的壓力崩落；請參閱 [空氣壓力波動指南](/zh-hant/blog/how-do-air-pressure-fluctuations-destroy-actuator-performance-consistency-and-production-quality/) 了解供氣側測試。僅靠位置訊號無法分離流量限制與起動脫離摩擦。

## 模型如何改變控制器設計？

Festo 說明伺服氣動定位系統的三個必要元件，而 2004 年的增益排程研究採用局部模型加狀態回授，不是套用通用的 PID 倍率（[Festo](https://www.festo.com/us/en/c/products/actuators-and-drives/servopneumatic-positioning-systems-id_pim185/)，查閱於 2026-07-23； [Schulte 與 Hahn](https://doi.org/10.1016/S0967-0661(03)00148-5)，2004）。控制器選擇應跟隨實測受控對象的變化與可用回授訊號。

| 觀察到的受控對象行為 | 合理的起始架構 | 所需證明 |
| --- | --- | --- |
| 單一操作區域、輕微非線性 | 固定增益位置或狀態控制器 | 正常負載與壓力範圍內的穩定性與穩定時間 |
| 可重複的位置相關動態 | 增益排程控制器 | 每個局部受控對象及插值期間的穩定性 |
| 追蹤誤差主要由已知軌跡力造成 | 基於模型的前饋加回授 | 閥門反向特性圖、飽和處理、負載敏感度 |
| 氣室壓力動態限制擾動抑制 | 運動迴路內的壓力回授 | 感測器頻寬、雜訊、迴路分離、故障行為 |
| 高度不確定性或變化中的摩擦／負載 | 自適應、不確定性感知或非線性策略 | 有界參數、穩定性論證、最差情況測試 |

前饋應從力平衡開始，而不是直接猜測閥門命令。所需的氣動力可估算為：

F p , r e q = M e q x ¨ r e f + F l o a d + F ^ f r i c t i o n F_{p,\mathrm{req}} = M_{\mathrm{eq}}\ddot{x}_{\mathrm{ref}} + F_{\mathrm{load}} + \hat{F}_{\mathrm{friction}}

接著，兩個氣室的壓力目標必須同時符合供氣壓力、排氣壓力、力的方向與壓力限制。要把壓力目標轉成閥門命令，需要閥流量反向模型和氣室狀態。單純用力除以壓差和面積，得不到有物理意義的無因次閥門命令。

不要直接照搬另一台機器的取樣率。應根據實測閥門、壓力、感測器、計算資源與機械動態選擇控制器週期，並為濾波與延遲保留裕度。安全的試運轉順序是先設定保守限制、確認訊號極性，再做開迴路特性測試；之後一次啟用一個閉迴路，最後才測試完整負載與供氣包絡。

[Video: S2 定位：更精準的無桿氣缸定位](https://img.youtube.com/vi/13heZjSzafc/hqdefault.jpg)

關於更廣泛的硬體與試運轉概覽，請參閱 [伺服控制氣動定位指南](/zh-hant/blog/how-do-servo-control-pneumatic-systems-achieve-superior-positioning-accuracy-in-industrial-applications/)。其中的元件選型任務，應與本文的參數估計任務分開處理。

## 能揭露錯誤模型的驗證流程

經驗證的 ASME 模型比較兩種氣缸和不同管長下的預測，而不是只看辨識資料集（[Richer 與 Hurmuzlu](https://doi.org/10.1115/1.1286336)，2000）。你的驗收測試也應包含未用於擬合的條件，例如另一個位置、負載、方向、壓力、軌跡或管路配置。

請分層執行驗證：

- 靜態幾何與力： 確認面積、容積、符號慣例、重力與平衡壓力。

- 閥門與氣室測試： 在可行時以固定容積比較實測與預測的壓力上升、壓力衰減、死區與延遲。

- 低速運動： 揭露起動脫離摩擦、遲滯、導向拖曳與方向相關殘差。

- 動態軌跡： 在保留未用於擬合的操作條件下，比較命令、兩個壓力、位置、速度與加速度。

- 閉迴路測試： 在製程基準點驗證穩定時間、超越量、穩態誤差、飽和、擾動響應與安全狀態行為。

殘差就是證據。

要看殘差的形狀，不要只看單一平均誤差。壓力殘差若隨停留時間增加，可能表示熱模型不匹配或存在洩漏；運動殘差若隨方向改變符號，則指向摩擦或負載模型問題。兩條壓力曲線同時出現的延遲，可能來自閥門或資料擷取鏈。壓力吻合但位置仍有高頻誤差，可能表示感測器或機械動態在氣動模型之外。

驗證應回答一個決策問題：模型是否準確到足以支援元件選型、前饋、增益排程、故障偵測或安全監測？不同用途需要不同的誤差界限。能估算行程時間的模型，仍可能不適合壓力狀態回授；名義狀態下表現良好的模型，也不能證明感測器、閥門或供氣失效後的行為。

> Figure: 只有當保留測試顯示剩餘誤差小到足以支援預定控制任務，模型才算準備完成。

投入生產前，應定義如何隔離儲存的氣動能量、如何支撐垂直或懸吊負載、失去命令或回授後會發生什麼，以及誰有權授權重新啟動。控制性能永遠不能取代機台風險評估。

## 伺服氣動建模常見問題

ISO 6358-1 涵蓋元件穩態流量測試，而上文引用的經驗證非線性模型使用兩種氣缸和數種管路配置。以下四個問題針對最容易破壞控制模型的邊界：氣體術語、壓力參考、操作點涵蓋範圍與同步量測（[ISO](https://www.iso.org/standard/56612.html)，2013； [ASME](https://doi.org/10.1115/1.1286336)，2000）。

### 可壓縮性因子 Z 等同於氣動剛度嗎？

不是。 Z Z 修正真實氣體方程的非理想行為；氣動剛度則是由氣室壓力、有效活塞面積、封閉容積與假設熱過程導出的局部力－位移關係。控制器可以同時使用兩個概念，但以其中一者替代另一者會導致單位與物理解釋都錯誤。

### 模型應使用表壓還是絕對壓力？

在氣體狀態、密度、壓力比、質量流量、剛度與溫度關係中使用絕對壓力。只要一致處理大氣效應，表壓仍可用於操作員顯示與力計算。請記錄大氣參考值，絕不要把表壓直接代入理想氣體或多方方程。

### 單一線性模型能涵蓋整個氣缸行程嗎？

只有當驗證顯示受控對象變化仍符合所需性能時才可以。氣室容積、閥門壓力比、摩擦、負載與方向都可能改變局部動態。若要涵蓋更寬的操作包絡，應辨識多個操作點，驗證每個控制器及其間的插值，而不是假設只需依位置縮放增益。

### 模型驗證期間應記錄哪些訊號？

記錄閥門命令、可取得時的閥門回授、閥門入口供氣壓力、兩個氣缸接口壓力、位置、負載條件與同步時間戳記。以有文件記錄的濾波方法推導速度與加速度；若殘差顯示溫度、力或流量狀態重要，也要加入量測。應在製程基準點驗證，不要只在致動器內部感測器處驗證。

### 來源與技術參考資料

- [NIST：空氣可壓縮性因子計算](https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/IR/nbsir83-2652.pdf)，查閱於 2026-07-23。

- [ISO 6358-1：使用可壓縮流體測定流量特性](https://www.iso.org/standard/56612.html)，查閱於 2026-07-23。

- [Richer 與 Hurmuzlu：高性能氣動力致動器系統，第一部分](https://doi.org/10.1115/1.1286336)，查閱於 2026-07-23。

- [Schulte 與 Hahn：伺服氣動致動器的模糊狀態回授增益排程控制](https://doi.org/10.1016/S0967-0661(03)00148-5)，查閱於 2026-07-23。

- [伺服氣動致動系統的改良非線性建模與辨識](https://doi.org/10.1016/j.simpat.2017.03.008)，查閱於 2026-07-23。

- [Festo：伺服氣動定位系統](https://www.festo.com/us/en/c/products/actuators-and-drives/servopneumatic-positioning-systems-id_pim185/)，查閱於 2026-07-23。