オイラー座屈公式：限界座屈荷重の計算方法 | ベプト空圧、ベプト工業の空圧製品ライン

Q: 空気圧を上げるとオイラー限界荷重は変わりますか？

E、I、K、Lが変わらなければ、圧力によってオイラー限界荷重が直接変わることはありません。ただし、シリンダに加わる圧縮力は増え、運転余裕が小さくなる可能性があります。設定圧力を変更するたびに最大推力を再計算し、許容座屈荷重と比較してください。

オイラーの座屈公式は、長く真っすぐで細長い柱が横方向に不安定になる理想弾性圧縮荷重を推定します。 空圧シリンダのロッドでは、ヤング率、最小断面二次モーメント、支持されていない実長、端部拘束を表す有効長係数という4つの入力値が必要です。ストロークだけでは計算できません。

この記事は計算ワークシートです。式の組み立て方、単位のそろえ方、中実・中空円形断面の比較方法、計算結果がオイラー理論の適用範囲外となる条件を説明します。最大圧縮荷重ケース、ガイド、横荷重、再設計案、ロッドレス方式を含む機械全体の検討手順については、長ストローク用ピストンロッドの座屈ガイドを参照してください。

要点

オイラー荷重はロッドの曲げ剛性 $EI$ に比例し、有効長の2乗に反比例します。

中実円形ロッドの断面二次モーメントは、直径の4乗に比例します。

Parkerが引用したP1F手順で推奨する安全率3.5～5は、その手順固有の値であり、普遍的な値ではありません。

計算はロッドの一次判定です。選定では対象シリンダメーカーの線図が優先されます。

オイラーの座屈公式では何を計算するのか？

MITは、オイラー座屈を軸圧縮を受ける長く細い柱の弾性不安定現象と説明し、有効長を用いた式 $F_{\mathrm{cr}}=\pi^2EI/L_e^2$ を示しています（MIT OpenCourseWare）。得られるのは理想的な分岐荷重であり、材料の破壊荷重やシリンダの総合定格ではありません。

計算式は次のとおりです。

P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}

有効長は次式で表します。

L_e = K L

両式を組み合わせると、次のようになります。

P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}

各記号の意味は次のとおりです。

$P_{\mathrm{cr}}$ ：理想オイラー限界荷重（N）。
$E$ ：ミリメートル単位を使う場合のヤング率（ $\mathrm{N/mm^2}$ ）。
$I$ ：重心軸まわりの最小断面二次モーメント（ $\mathrm{mm^4}$ ）。
$L$ ：支持されていない実長（mm）。
$K$ ：無次元の有効長係数。
$L_e$ ：有効座屈長さ（mm）。

オイラー限界荷重とは、理想的に真っすぐな弾性平衡状態が不安定になる軸圧縮荷重の計算値です。実際のシリンダロッドがその値まで真っすぐな状態を保つことを保証するものではありません。初期たわみ、荷重偏心、すきま、横荷重、局部的な断面変化、不完全な拘束によって、使用可能な荷重は低下します。

また、この公式ではシリンダ推力を計算できません。想定し得る最大圧縮力を別途求め、製品固有の許容荷重と比較してください。SMCのシリンダ選定資料では、伸長中に外部ストッパで停止する軽負荷シリンダを含め、ストローク表で最大発生推力を座屈力として考慮するよう指示しています（SMC）。

入力ワークシート：E、I、L、K

MITの有効長式は $E$ 、 $I$ 、 $L$ 、 $K$ の4量を使用します。一方、ISO 15552は、最高使用圧力1,000 kPa、内径32～320 mmの交換可能なシリンダ寸法を規定しています（MIT、ISO）。寸法の標準化によって、万能な座屈入力値が与えられるわけではありません。

計算前に、各値とその出典を記録してください。

入力	必要な記録	よくある誤り
$E$	ロッド材料、熱処理、温度、単位、データ出典	材料不明のロッドに一般的な鋼の値を転用する
$I$	危険断面の形状と実寸法	ピストン内径やねじの呼び径を使う
$L$	最も不利な位置で支持されていない実長	アダプタや支持部を確認せず公称ストロークを入力する
$K$	端部拘束モデルまたはメーカーの取付ケース	取付方式の商品名だけで理論値を割り当てる
$P_{\mathrm{applied}}$	想定し得る最大軸圧縮荷重	通常運転時の負荷力だけを使う
$S_F$	メーカー手順または文書化した設計根拠	あるカタログの係数を普遍的な規則とみなす

ヤング率

ヤング率は、軸方向の弾性剛性を表します。実際のロッド材料と温度に対応する値を使用し、できればメーカー資料または管理された材料データから取得してください。表面硬化やクロムめっきを施しても、ロッド断面全体のヤング率が自動的に皮膜の値になるわけではありません。

鋼の説明用計算では、次の値をよく使用します。

E = 200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}

これは200 GPaに相当します。あくまで入力例であり、購入したシリンダの材質を証明する値ではありません。

支持されていない実長

ロッドが最も伸びた不利な位置で、横にたわみ得る実際の距離を測定します。採用する手順で必要となる露出ロッド部と、支持されていないロッド先端アダプタを含めてください。公称ストロークが800 mmでも、ピストン、軸受、クレビス、取付部、外部支持によって実際の拘束点が変われば、支持されていない長さも変わります。

$L$ は幾何学的な実長です。 $L_e=KL$ はオイラー式で使う等価長です。有効長の根拠を確認できるよう、ワークシートでは別々のセルに記録してください。

作用圧縮力

採用する手順で想定し得る最大軸圧縮力を使用します。通常の搬送負荷ではなく、詰まりや外部ストッパに対して調整圧力が全て作用した場合の力になることもあります。シリンダ推力計算ツールと有効ピストン面積ガイドを使えば、この荷重ケースの圧力・面積成分を求められます。

メーカーの座屈手順が最大発生推力を明示的に求めている場合、根拠のない効率率を差し引かないでください。その手順の前提に従います。

4つの元入力を分けて記録してください。式が正しくても、仮定した材料、誤った断面、ストロークだけの長さ、根拠のない端部条件は補正できません。

有効長係数Kはどのように選ぶのか？

MITは4種類の理想端部拘束を示して $L_e=KL$ と定義し、両端ピン支持では $K=1$ としています（MIT OpenCourseWare）。よく知られる2.0、1.0、約0.7、0.5という係数は理想柱に対する値であり、シリンダの取付名称へ自動的に適用できる値ではありません。

理想端部条件	理論上の $K$	同じ $L$ における相対オイラー荷重
一端固定・一端自由	2.0	0.25
両端ピン	1.0	1.00
一端固定・一端ピン	約0.7	約2.04
両端固定	0.5	4.00

相対荷重は、他の入力値を変えずに $R_K=1/K^2$ から計算します。これらの値は拘束の影響を示すものです。フランジが完全固定であることや、クレビスが全ての面で理想ピンとして働くことを証明するものではありません。

有効長係数（K）とは、定義した座屈モードと端部拘束モデルについて、支持されていない実長を等価なオイラー柱長へ換算する係数です。横荷重、芯ずれ、摩擦、衝撃、不明な支持条件を補正する係数ではありません。

$K$ を選ぶ前に実際の組立状態を整理します。

両端で横方向の並進が拘束される位置を特定します。
想定される座屈面で各端部が回転できるかを確認します。
ブラケット、ロッドアイ、クレビスピン、軸受、キャリッジ、機械フレームの柔軟性を含めます。
直交する2平面で拘束条件が異なるかを確認します。
メーカー手順に取付ケースが規定されている場合は、それを使用します。

Festoの公開例では安全率5を選び、その手順における不利な旋回取付の座屈長さをストロークの2倍と近似しています（Festo）。これはモデル固有の規則です。全ての旋回シリンダで $K=2$ が正しいことを意味しません。

端部挙動の根拠を示せない場合はどうすべきでしょうか。一次判定では、文書化されたより保守的なケースを使い、その後メーカー確認、検証済み構造モデル、または試験へ進みます。機構が「やや固定されている」ように見えるという理由で中間係数を作らないでください。

中実・中空ロッドのIはどのように計算するのか？

MITは中実円形断面について $I=\pi d^4/64$ を示しています（MIT OpenCourseWare）。直径が4乗されるため、断面寸法の測定は結果へ大きく影響します。ピストン内径や装飾的な外形寸法ではなく、柱の曲げに関与する最小構造断面を使用してください。

中実円形ロッドの場合：

I_{\mathrm{solid}} = \frac{\pi d^4}{64}

ここで $d$ は、評価するロッド断面の実直径です。

中空円形ロッドの場合：

I_{\mathrm{hollow}} = \frac{\pi\left(D^4-d_i^4\right)}{64}

ここで $D$ は外径、 $d_i$ は内径です。両方の寸法で同じ単位を使用します。

任意の断面について、断面積 $A$ と断面二次半径 $r$ を計算します。

r = \sqrt{\frac{I}{A}}

細長比は次のとおりです。

\lambda = \frac{L_e}{r}

細長比とは、有効長を断面二次半径で割った値です。値が大きいほど細長い柱ですが、全ての材料や製品に共通する合否しきい値を示すものではありません。オイラー理論を使うには、予測される応答が弾性細長柱の領域内にある必要があります。

正しく次元が閉じる単位の組み合わせ

ヤング率	断面二次モーメント	長さ	結果
$\mathrm{N/mm^2}$	$\mathrm{mm^4}$	$\mathrm{mm}$	N
Pa、または $\mathrm{N/m^2}$	$\mathrm{m^4}$	m	N

GPa単位の $E$ をミリメートル系の式へそのまま代入しないでください。先に換算します。例えば、 $E=200\ \mathrm{GPa}$ は $E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$ です。

ねじ、二面幅部、溝、穴、段付き部によって、より小さい危険断面が生じる場合があります。その局部形状が全体のオイラー座屈を支配するかどうかは、位置、長さ、剛性、採用した構造モデルによって決まります。メーカーのカタログに計算用ロッド径が示されている場合は、その値を使用します。

計算例：直径20 mm、長さ800 mmの中実ロッド

ParkerのP1Fカタログは最大ピストン推力と4倍の座屈安全確認を使って例を計算し、その製品手順では3.5～5を推奨しています（Parker）。以下のワークシートは、単位と端部条件の感度だけを示すため、別の理想ロッドを使用します。

次の条件を仮定します。

中実ロッド径 $d=20\ \mathrm{mm}$ 。
支持されていない実長 $L=800\ \mathrm{mm}$ 。
説明用の鋼のヤング率 $E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$ 。
最初のケースは $K=1.0$ 。
説明用安全率 $S_F=4$ 。
作用軸圧縮力 $P_{\mathrm{applied}}=4{,}000\ \mathrm{N}$ 。

まず断面二次モーメントを計算します。

I = \frac{\pi\left(20\ \mathrm{mm}\right)^4}{64} \approx 7{,}854\ \mathrm{mm^4}

有効長を計算します。

L_e = K L = 1.0\left(800\ \mathrm{mm}\right) = 800\ \mathrm{mm}

次に理想オイラー荷重を計算します。

P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2} = \frac{\pi^2 \times 200000 \times 7854}{800^2} \approx 24224\ \mathrm{N}

説明用の安全率4を適用すると、次のようになります。

P_{\mathrm{allow}} = \frac{P_{\mathrm{cr}}}{S_F} = \frac{24{,}224\ \mathrm{N}}{4} \approx 6{,}056\ \mathrm{N}

作用圧縮荷重4,000 Nに対する一次判定比は次のとおりです。

R_{\mathrm{screen}} = \frac{P_{\mathrm{allow}}}{P_{\mathrm{applied}}} = \frac{6{,}056}{4{,}000} \approx 1.51

次に、理想端部条件だけを一端固定・一端自由の $K=2.0$ へ変更します。有効長は1,600 mmとなるため、オイラー荷重は4分の1に低下します。

P_{\mathrm{cr},K=2} = \frac{24{,}224\ \mathrm{N}}{2^2} \approx 6{,}056\ \mathrm{N}

同じ説明用安全率4を適用すると、次のようになります。

P_{\mathrm{allow},K=2} = \frac{6{,}056\ \mathrm{N}}{4} \approx 1{,}514\ \mathrm{N}

作用荷重4,000 Nは、最初のケースの説明用許容値より小さいものの、2番目のケースの値を超えています。ロッド材料も直径も変わっていません。拘束条件の仮定だけで一次判定結果が逆転しました。

$K$ を1つの「有効長」セルに隠した表計算では、この誤りを監査しにくくなります。実長と端部条件係数を見える状態に保ち、選んだ拘束条件の根拠を記録してください。

ツールシリンダ選定シリンダロッド座屈計算ツールロッド径、支持されていない長さ、端部条件、圧縮力、安全率を入力し、対象シリンダのカタログを確認する前にオイラー限界荷重を一次判定します。座屈荷重 = pi^2 × E × I / 有効長さ^2ロッド径支持されない長さ端部条件係数圧縮荷重計算ツールを開く

なぜ長さより直径の影響が大きいのか？

オイラー荷重と中実円形断面に関するMITの式を組み合わせると、 $P_{\mathrm{cr}}\propto d^4/L_e^2$ となります（MIT OpenCourseWare）。材料と拘束条件が同じなら、直径を25%増やすと理想荷重は約2.44倍になり、有効長を50%増やすと約0.44倍に低下します。

同じ材料の中実ロッド2本については、次式を使えます。

\frac{P_{\mathrm{cr},2}}{P_{\mathrm{cr},1}} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4 \left(\frac{L_{e,1}}{L_{e,2}}\right)^2

この比率ではヤング率と共通定数が相殺されるため便利です。ただし、実際のロッド径、有効長、作用力、メーカー限界の確認は省略できません。

次の3つの感度確認が式から直接得られます。

直径を20 mmから25 mmへ増やすと、理想荷重は ${(25/20)^4 \approx 2.44} 倍になります。
有効長を800 mmから1,200 mmへ増やすと、理想荷重は ${(800/1200)^2 \approx 0.44} 倍になります。
$K$ を1から2へ変えると、理想荷重は ${(1/2)^2 = 0.25} 倍になります。

直径は4乗、有効長は逆2乗で影響します。この比率が成り立つのは、同じオイラーモデルが引き続き有効な場合だけです。

内径を大きくすることと、座屈余裕を大きくすることは同じではありません。圧力が一定なら、シリンダ内径を大きくすると最大推力が増えます。対応するロッド径も大きくなる場合がありますが、推力の増加と $d^4$ による断面性能の増加を、実際の製品仕様で比較する必要があります。

どのような場合にオイラー計算だけでは不十分になるのか？

Festoは公開されたロッド線図で安全率5を採用し、Parkerは引用したP1F座屈手順で3.5～5を推奨しています（Festo、Parker）。手順ごとに値が異なることからも、単独のオイラー計算が普遍的な製品承認にならないことが分かります。

次の場合は、単純な計算結果だけで十分と判断しないでください。

部材が短く、降伏または非弾性座屈が支配する可能性がある。
計算上の限界応力が材料の比例限度または降伏域に近い。
荷重が偏心して作用する、または初期たわみが大きい。
ロッドに横荷重が加わる、またはロッドで負荷を案内している。
支持剛性や端部回転を検証済みケースへ対応付けられない。
ねじ、溝、中空部、段付き部、局部的な縮径部が剛性を支配する。
圧力、衝撃、振動、重力、詰まりによって複数の圧縮ケースが生じる。
メーカーがより制限の厳しいストローク・荷重表を公開している。
故障時の影響から、検証済み解析または実機試験が必要である。

オイラー限界応力は次式で表せます。

\sigma_{\mathrm{cr}} = \frac{P_{\mathrm{cr}}}{A} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}

この形を使うと、理想限界応力が弾性範囲内にあるかを確認できます。ただし、材料の許容応力、普遍的な細長比境界、完全な非弾性柱モデルを与える式ではありません。

横荷重は別に計算する必要があります。オイラーの導出では、理想的に真っすぐな部材の中心へ軸圧縮が加わると仮定します。限界荷重が良好でも、ピストンロッドで偏心負荷を支持してよいことにはなりません。芯合わせや案内が不確かな場合は、リニアアクチュエータの横荷重ガイドとピストンロッドたわみガイドを確認してください。

次の順序で根拠を確認します。

想定し得る最大圧縮荷重を確定します。
単位と仮定を記録し、透明性のあるオイラー一次判定を行います。
対象製品固有の安全率または許容荷重手順を適用します。
最新のメーカー製ストローク・荷重表と取付表を確認します。
横荷重、衝撃、クッション、ブラケット、ガイドを別々に評価します。
モデルの適用境界を満たさない場合は、メーカー確認、FEA、試験へ進みます。

ISO 15552が保証するのは、規定されたシリンダ群と圧力区分における寸法互換性です。普遍的なロッド座屈能力を規定するものではありません。寸法上は交換可能な2本のシリンダでも、ロッド径、材料、許容ストローク、取付ケース、カタログ限界は異なることがあります。

オイラー座屈公式に関するよくある質問

SMCは座屈表でシリンダの最大発生推力を考慮するよう案内し、Parkerは引用したP1F手順で3.5～5の係数を推奨しています。以下の5項目では、結果を大きく変えやすいワークシート上の判断、すなわち実長、 $K$ 、安全率、圧力、オイラー一次判定と製品承認の境界を説明します。

シリンダのストロークを支持されていない長さとして使えますか？

必ずしも使えません。ストロークはアクチュエータの移動量ですが、支持されていない長さは、機械の最も不利な位置でたわみ得る柱の実長です。露出したロッド、ピストン支持部、軸受、ロッド先端アダプタ、継手、外部支持によって変わります。採用するメーカー手順で指定された形状と長さの定義を使用してください。

クレビス取付シリンダにはどのK値を使うべきですか？

クレビスは一方向では理想的なピン支持に近くても、反対側の端部、ブラケットの柔軟性、軸受すきま、荷重との接続も座屈モードを左右します。「クレビス」という名称だけで $K=1$ としないでください。シリンダメーカーの取付ケース、または根拠を示せる構造モデルを使用します。

オイラー荷重にはどの安全率を適用すべきですか？

空圧用途に共通する値はありません。Parkerは引用したP1F手順で3.5～5を推奨し、Festoは参照した線図で5を使用しています。対象シリンダ固有の手順に従い、荷重の不確かさ、動的作用、芯ずれ、故障時の影響、適用される機械要件を検討してから安全率を確定してください。

空気圧を上げるとオイラー限界荷重は変わりますか？

$E$ 、 $I$ 、 $K$ 、 $L$ が変わらなければ、圧力によって $P_{\mathrm{cr}}$ が直接変わることはありません。ただし、シリンダに加わる圧縮力は増え、運転余裕が小さくなる可能性があります。設定圧力を変更するたびに最大推力を再計算し、許容座屈荷重と比較してください。

オイラー計算に合格すればシリンダが適合すると証明できますか？

いいえ。この計算で確認できるのは、理想的な軸圧縮を受けるロッドの安定性です。最終選定では、対象メーカーのストローク・荷重表に加え、横荷重、芯合わせ、衝撃、クッション、取付部強度、圧力定格、速度、温度、環境を個別に確認する必要があります。理想柱の仮定が実機を表さない場合は、FEAまたは試験を行ってください。

出典および技術参考資料

MIT OpenCourseWare『細長柱の弾性座屈』、参照日：2026-07-23。
SMC『空気圧シリンダ機種選定技術資料』、参照日：2026-07-23。
Festo『一般使用条件および座屈荷重線図』、参照日：2026-07-23。
Parker『P1F ISO空圧シリンダ技術カタログ』、参照日：2026-07-23。
ISO 15552:2018『着脱式取付具付き空気圧シリンダ』、参照日：2026-07-23。

オイラー座屈公式：柱の限界座屈荷重を計算する方法

Jack Chen