空圧シリンダの固有振動数計算：剛性・質量・減衰の確認 | ベプト空圧、ベプト工業の空圧製品ライン

Q: サイクル周波数と固有振動数は同じですか？

いいえ。サイクル周波数は指令された運転周波数、固有振動数は特定状態の質量・剛性系の性質です。1 Hzのサイクルにも高周波の加速度高調波や衝撃が含まれ得ます。

Q: 剛性式にはゲージ圧と絶対圧のどちらを使いますか？

絶対室圧を使います。可能なら運転条件で両室を測定し、調圧器設定値で実際のヘッド側・ロッド側圧力を代用しないでください。

Q: ロッドレスシリンダは必ず固有振動数が高くなりますか？

いいえ。キャリッジと負荷の質量、両室体積、圧力、ガイド・取付剛性、連結方式、ストローク位置にも左右されます。

Q: いつ計算をやり直す必要がありますか？

負荷、工具、ピストン位置、圧力、配管長、弁状態、取付、ガイド剛性、制御設定、動作プロファイルを変えたときに再計算します。

Q: シリンダ速度を変えれば共振をなくせますか？

励振をモードから離せる場合はありますが、別の高調波や端部衝撃が生じることもあります。変更後に応答、クッション、流量、制御安定性を再確認してください。

空圧シリンダの固有振動数とは、定義した運転状態の近傍で、シリンダ、移動負荷、接続構造が自由振動する周波数です。一次評価では、指定したピストン位置における両室の面積と体積を求め、絶対室圧から総空圧剛性を計算し、質量ばね系の固有振動数式へ代入します。

この結果はシリンダに共通する定格値ではありません。弁状態、配管体積、取付部の柔軟性、摩擦、構造モード、制御ループ、負荷変化、ピストン位置によって実測応答は変わります。仮定を明記し、組立済み機械で予測を確認して初めて有効な計算になります。

要点

両室を閉じた複動シリンダは、2つの空気ばねとして働きます。

圧力には絶対圧を使い、各室体積にはデッドボリュームを含めます。

計算例では、予測周波数が中間位置の4.82 Hzから端部近傍の6.83 Hzまで変化します。

固有振動が有害な共振になるかは、減衰と励振周波数で決まります。

動的モデルより先に行う静的負荷確認は、シリンダ推力計算ガイドを参照してください。位置まわりの振動ではなくエンドカバーへ衝突している場合は、空圧シリンダのクッションガイドを使います。

正しい空圧モデルから始める

Doll、Neumann、Sawodnyは、両室を閉じて各室の圧縮空気質量を一定とし、1つの移動質量が空気ばねへ接続された系として空圧シリンダをモデル化しています（運動タスク向け空圧シリンダのサイジング、2015年）。ここで使う一次評価は、この境界条件に基づきます。

複動片ロッド構成を示すISO 15552タイロッド形空圧シリンダ

実際の方向制御弁はモデルを変えます。一方を供給、他方を排気へ接続すれば室内質量は一定ではありません。サーボ弁と制御器は有効剛性や減衰を加え、長い配管やタンクは体積と流量の動特性を加えます。周波数を示す前に弁状態を明記してください。

最小限で有用なモデルには、次の要素を含めます。

第1室の圧力、面積、総体積
第2室の圧力、面積、総体積
ピストン、ロッドまたはキャリッジ、負荷、その他の機械的移動質量
摩擦、シール、ガイド、流路、接続構造による減衰
空圧剛性と実際に並列作用する機械剛性

定義した位置近傍で保持された複動シリンダの一次評価モデル。以下の式は密閉された2室を空気ばねとして扱いますが、実機には別のモードも存在し得ます。

近接する部品をすべて1つの剛性値へ足してはいけません。例えばシリンダと直列に曲がるブラケットは合成剛性を下げ、並列の戻しばねは剛性を加えます。柔軟なフレームは、多自由度モデルや有限要素解析が必要な別モードを生むことがあります。

最初に問うべきなのは「このシリンダの固有振動数はいくつか」ではなく、「どの物理状態のどのモードを計算するか」です。ポートを閉じた中間位置のシリンダと、絞り弁を通って移動中の同じシリンダは異なる動的システムです。

室の面積と体積はどう計算するか

複動シリンダの実験モデルでは、2つの有効ピストン面積を使い、各室体積を端部の不動作体積と位置依存の掃気体積の和として定義します（複動空圧シリンダの実験研究、2020年）。これにより、両側へ全ピストン面積と全ストローク体積を使う誤りを防げます。

ボア径 $D$ 、ロッド径 $d$ の片ロッドシリンダでは、次のとおりです。

A_1 = \frac{\pi D^2}{4}

A_2 = A_1 - \frac{\pi d^2}{4}

$A_1$ はヘッド側有効面積、 $A_2$ はロッド側環状面積です。直径をメートルで入力すると単位は平方メートルになります。ロッドレスシリンダで両面積を等しいとできるのは、内部構造がその仮定を満たす場合だけです。

ヘッド側から測ったピストン位置を $x$ とすると、室体積は次のとおりです。

V_1 = V_{d1} + A_1 x

V_2 = V_{d2} + A_2(L-x)

$L$ はメートル単位の全ストロークです。 $V_{d1}$ と $V_{d2}$ は各側の不動作体積で、エンドカバー空洞、ポート、継手、センサ通路、閉じ込め空気に含まれる接続配管を含みます。体積はすべて立方メートルで入力します。

配管体積は過小評価されがちです。離れた弁や長いホースはピストン面積を増やさずに圧縮体積を増やし、空圧剛性を下げます。空圧チューブ体積計算ツールで入力値を求められますが、固有振動数そのものは計算しません。

剛性式には絶対圧を使います。互換単位でゲージ圧へ現地大気圧を加えて換算してください。海面近くで公称6 barゲージの供給は約7 bar絶対ですが、保持時や運動時の実室圧は調圧器設定値と異なる場合があります。

空圧剛性と固有振動数はどう計算するか

Czmerkの複動シリンダ解析は、受動剛性がストロークに沿って変化し、端位置付近ではデッドボリュームが重要になることを示しています（複動空圧シリンダの剛性向上、2015年）。空圧剛性とは、定義状態の近傍でピストン変位1単位あたりに生じる復元力の増分です。密閉された両室を線形化すると次式になります。

k_p = nP_1\frac{A_1^2}{V_1} + nP_2\frac{A_2^2}{V_2}

$k_p$ は N/m単位の空圧剛性、 $P_1$ と $P_2$ はPa単位の絶対室圧、 $A_1$ と $A_2$ はm²単位の有効面積、 $V_1$ と $V_2$ はm³単位の総圧縮体積です。無次元のポリトロープ指数 $n$ は、小さな圧力・体積変化中の熱伝達を表します。

理想化した気体挙動では、 $n=1$ は等温過程、 $n=1.4$ は断熱過程を表し、中間条件はその間にあります（空圧物理に基づくエアスプリング動剛性のニューラルネットワークモデル、2026年）。この資料は空気ばねの研究なので、範囲は気体過程の目安であり、全シリンダに共通する試験値ではありません。検証値がなければ仮定を隠さず感度確認を行います。

機械ばねが並列作用する場合、その剛性を $k_p$ へ加えられます。荷重経路から並列だと確認できないフレーム、ブラケット、継手、ガイドの剛性を単純加算しないでください。正しく合成した値を $k_{\mathrm{total}}$ とします。

非減衰固有振動数は次式です。

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{total}}}{m_{\mathrm{eff}}}}

$f_n$ はHz、 $k_{\mathrm{total}}$ はN/m、 $m_{\mathrm{eff}}$ はkgです。有効質量には通常、負荷、ピストンとロッドまたはキャリッジ、工具、柔軟な連結部の適切な可動割合を含めます。圧縮空気質量を負荷と一体で並進する質量として加えてはいけません。

軽減衰の単一モード推定では、減衰自由振動数は次式です。

f_d = f_n\sqrt{1-\zeta^2}

$\zeta$ は減衰比です。この関係は1つのモードが支配的で、減衰をおおむね粘性として表せる場合だけ有効です。シール摩擦やスティックスリップは非線形なので、低速挙動はこのモデルに適合しないことがあります。

計算例：中間位置のボア63 mmシリンダ

上の2室式に、ボア63 mm、ロッド20 mm、ストローク400 mm、有効質量25 kg、各側デッドボリューム50 cm³、絶対室圧7 bar、 $n=1.2$ を代入すると、中間位置の予測固有振動数は4.82 Hzです。これはモデル結果であり、カタログ定格ではありません。

ピストン位置を $x=0.200\ \mathrm{m}$ とし、初回計算では追加機械剛性を無視します。

入力	値
ボア径 $D$	0.063 m
ロッド径 $d$	0.020 m
ストローク $L$	0.400 m
位置 $x$	0.200 m
1室あたりのデッドボリューム	0.000050 m³
各室の絶対圧	700,000 Pa
ポリトロープ指数 $n$	1.2
有効移動質量 $m_{\mathrm{eff}}$	25 kg

計算面積は $A_1=0.003117\ \mathrm{m^2}$ 、 $A_2=0.002803\ \mathrm{m^2}$ です。中間位置の総室体積は $V_1=0.000673\ \mathrm{m^3}$ 、 $V_2=0.000611\ \mathrm{m^3}$ です。

両室の剛性寄与は約12,120 N/mと10,809 N/mです。

k_p = 12120 + 10809 = 22929\ \mathrm{N/m}

有効質量25 kgを代入します。

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{22929}{25}} = 4.82\ \mathrm{Hz}

剛性を変えずに有効質量を2倍にすると、固有振動数は質量比の平方根だけ低下し、約 $f_n=3.41\ \mathrm{Hz}$ になります。逆に、励振を確認せず質量だけ減らすと、別の運転高調波へ共振が移る場合があります。

計算表は感度モデルとして使います。デッドボリューム、 $n$ 、室圧、移動質量、構造剛性など不確かな入力を1つずつ変えてください。整った単一回答より、重要な測定値を明らかにする根拠ある周波数範囲の方が有用です。

固有振動数がストローク位置で変わる理由

デッドボリュームと室圧が等しいロッドレスシリンダについて、Dollらは単純モデルの中間位置が最小剛性点になると示しています（運動タスク向け空圧シリンダのサイジング、2015年）。片ロッドシリンダは非対称ですが、両室体積はピストン位置とともに連続変化します。

同じ計算例を5位置で評価すると、次のモデル結果になります。

ヘッド側からの位置	空圧剛性	予測固有振動数
50 mm	46,051 N/m	6.83 Hz
100 mm	29,974 N/m	5.51 Hz
200 mm	22,929 N/m	4.82 Hz
300 mm	28,267 N/m	5.35 Hz
350 mm	41,863 N/m	6.51 Hz

この例では、両圧縮体積が比較的大きくなる中間位置付近で最小になります。端部近くでは片室が小さくなり、その剛性寄与が急増します。実圧力が等しいとは限らず、デッドボリューム差で最小点も移動します。

キャリッジ質量、長ストローク室体積、ガイドの影響を示す機械結合式ロッドレスシリンダ

ロッドレスシリンダが自動的に高い固有振動数を持つわけではありません。ロッドをなくすと移動質量は減り得ますが、長ストロークは室体積を増やし、キャリッジ、ガイド、シールバンド、磁気結合、荷重偏心、取付スパンは柔軟性や別モードを生みます。同じ運転状態で可動組立全体を比較してください。

このため問題がストロークの一部だけに現れることもあります。負荷始動、中間位置、加工位置、端部接近を含む重要位置で計算と試験を繰り返します。設置影響はアクチュエータ取付・芯出しガイドとロッドレスシリンダ取付ガイドを参照してください。

共振は減衰と励振で決まる

周波数比 $r=1$ のとき、線形1自由度モデルの変位倍率は $\zeta=0.05$ なら10、 $\zeta=0.20$ なら2.5です。以下の標準強制応答式から求められ、すべての空圧機械を一定の「10～50倍」で表せない理由も分かります。

周波数比は励振周波数を固有振動数で割った値です。

r = \frac{f_{\mathrm{exc}}}{f_n}

$f_{\mathrm{exc}}$ は励振周波数、 $f_n$ は計算固有振動数です。調和加振される線形単一モード系の変位倍率は次式です。

M(r) = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}

$M$ は定常変位振幅と対応する静的変位の比です。 $r=1$ では $M=1/(2\zeta)$ になります。減衰が小さいほど鋭いピークとなり、減衰が大きいほど低く広がります。ハードストップ、すきま衝突、強い非線形シール摩擦、弁飽和、複数連成モードには適用できません。

励振源には、指令サイクル周波数、動作プロファイルの高調波、弁切換、近接回転機器、コンベヤの歯やポケット通過、圧縮機脈動、反復端部衝撃があります。1秒サイクルの基本波は1 Hzでも、加速度波形にははるかに高い高調波が含まれ得ます。

すべての振動ピークを空圧共振と判断しないでください。室圧を変えてピークが移れば空圧剛性が関与している可能性があります。ピークがほぼ固定で取付や負荷の影響が大きければ構造モード、制御ゲイン、デッドバンド、サンプリングへの依存が強ければ制御ループを調べます。

実機で計算を検証する方法

ある複動シリンダ研究では、圧力と変位を0.1 msごとに収集し、各条件を45回反復して動的挙動を評価しました（複動空圧シリンダの実験研究、2020年）。工場試験で同じ実験手順は不要ですが、動作、圧力、振動信号は同期させます。

次の順序で確認します。

状態を定義する。 ピストン位置、負荷、姿勢、両室圧、弁指令、調圧器設定、流量調整、配管寸法、ガイド状態、取付構成を記録します。
安全な試験にする。 人を可動域から隔離し、可能ならエネルギーを下げ、承認済み試験計画なしに疑わしい共振域を全生産力で掃引しないでください。
適切な信号を測る。 移動キャリッジまたは負荷へ加速度計を置き、可能ならフレームにも追加します。両室圧と位置または速度も測ります。
穏やかに加振する。 小振幅の指令掃引、制御したステップ、または機械に適した記録済み衝撃試験を使います。エンドカバー衝突は安全な加振法の代用ではありません。
再現するピークを探す。 複数試行のスペクトル、位相、減衰振動周波数、圧力・位置挙動を比較します。
1つのパラメータを変える。 既知の質量、圧力、位置変更で再試験します。妥当なモデルなら周波数変化の方向を予測できます。

当社の経験では、調圧器ゲージだけに頼らず両室圧を記録することが、最も早い診断改善になります。調圧器は供給設定を示すだけで、振動時の閉じ込め圧、排気背圧、シリンダ動圧を証明しません。

2005年の空圧サーボ同定研究は、ピストン位置に対する固有振動数を測定し、その曲線を制御器設計へ利用しました（Noskievi、自励振動を用いた空圧サーボシステムの同定、2005年）。制御位置決めでは、中間位置の1値より周波数マップが重要な場合があります。

ISO 20816-1:2016は、完成機械の振動測定・評価に関する一般条件と手順を定めます。工場の振動管理には役立ちますが、空圧シリンダに共通する共振限界を示すものでも、用途別モデルや合否基準を置き換えるものでもありません。

周波数が接近しすぎたときの変更方法

密閉室モデルでは、剛性一定で移動質量を2倍にすると固有振動数は元の約70.7%になります。Dollらも、質量を2倍にして同じ固有周波数を維持するには、剛性に関する寸法変更が必要だと示しています（運動タスク向け空圧シリンダのサイジング、2015年）。

特定した原因に作用する対策を選びます。

励振を移す。 サイクル、加減速、休止、弁切換、近接回転機器の速度を変え、支配高調波がモードを繰り返し励振しないようにします。
移動質量を意図的に変える。 剛性一定なら軽量化で固有振動数は上がり、増量で下がります。どちらも改善にも悪化にもなり得るため、全運転範囲を再計算します。
空圧剛性を変える。 室圧、ピストン面積、閉じ込め体積、デッドボリューム、弁状態が剛性へ影響します。昇圧は剛性を高め得ますが、推力と蓄積エネルギーも変えます。部品定格と機械リスクを確認せず圧力を調整つまみにしないでください。
荷重経路を直す。 構造モードならブラケットを剛化し、非支持スパンを短くし、こじれを除き、適切なガイドを追加します。取付ボルトで芯のずれた部品を引き寄せないでください。
安全に散逸できる箇所へ減衰を加える。 ダンパ、ショックアブソーバ、クッション、制御策を対象モードに合わせます。端部衝撃は中間位置の共振式ではなく、クッションエネルギー確認で扱います。
プラント同定後に制御器を再調整する。 ゲイン低減、指令フィルタ、ノッチフィルタ、ゲインスケジューリングは有効ですが、ソフトウェアで緩んだ取付、不十分なガイド、衝撃問題を隠してはいけません。

すべての空圧機械に共通する安全な離調率はありません。運転速度、負荷、ストローク位置、圧力範囲、想定外乱を定義し、その範囲全体で実測応答が許容内か検証します。最終設定を記録し、保全時に変化を認識できるようにしてください。

固有振動数計算のFAQ

次の5問は、一次評価式と組立機械を区別するためのものです。モデルには2つの室圧、2つの有効面積、2つの室体積、1つの有効質量、明記した弁状態を使います（Dollら、2015年）。いずれかが欠けると予測モードは変わり得ます。

サイクル周波数と固有振動数は同じですか？

いいえ。サイクル周波数は指令運転周波数、固有振動数は定義状態近傍の質量・剛性系の性質です。1 Hzのサイクルにも高周波の加速度高調波や衝撃が含まれます。サイクル周波数だけでなく、実測励振成分と計算・実測モードを比較してください。

剛性式にはゲージ圧と絶対圧のどちらを使いますか？

絶対室圧を使います。気体剛性は閉じ込め空気の圧力・体積状態に従い、ゲージ圧は大気圧を含みません。可能なら運転条件で両室を測定します。特に弁、配管、排気抵抗がある場合、調圧器設定値は実際のヘッド側・ロッド側圧力の代用になりません。

ロッドレスシリンダは必ず固有振動数が高くなりますか？

いいえ。ロッド質量は減り得ますが、固有振動数はキャリッジ・負荷質量、両室体積、圧力、ガイド・取付剛性、連結挙動、ストローク位置にも依存します。長ストロークは閉じ込め体積を増やし構造モードも生むため、同じ境界条件で組立全体を比較します。

いつ計算をやり直す必要がありますか？

負荷、工具、ピストン位置、運転圧力、配管長、弁状態、取付、ガイド剛性、制御設定、動作プロファイルを変更したときに再計算します。実測圧力が初期仮定と異なる場合も同様です。恒久的な1値ではなく、想定運転ケース全体の周波数範囲を求めます。

シリンダ速度を変えれば共振をなくせますか？

励振をモードから離せる場合はありますが、速度は入力の1つにすぎません。新しい動作プロファイルが別の高調波を生み、端部接近速度の上昇で衝撃エネルギーが増えることもあります。変更後の応答を測り、クッション、弁流量、サイクル時間、制御安定性、運転範囲全体を確認します。

出典と技術資料

各モデル仮定、式、実験方法、導出結果の説明箇所に技術資料へのリンクを示しています。

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空圧システムの共振故障を防ぐ固有振動数の計算方法

Jack Chen