サーボ空圧の圧縮係数モデル：制御ループの設計と検証 | ベプト空圧、ベプト工業の空圧製品ライン

Q: 圧縮係数Zは空圧剛性と同じですか？

いいえ。Zは実在気体の方程式を非理想挙動に合わせて補正します。空圧剛性は、チャンバ圧力、有効ピストン面積、閉じ込め容積、仮定した熱過程から導く、局所的な力と変位の関係です。コントローラが両方の概念を使うことはありますが、一方を他方で置き換えると、単位も物理的な意味も誤ります。

サーボ空圧の圧縮性モデルでは、「圧縮性」を1つの調整可能な定数として扱いません。気体の状態方程式、熱過程の仮定、変化する2つのチャンバ容積、バルブの質量流量、ピストン推力、摩擦、移動質量を分離します。その結果、コントローラを信頼する前に同定・検証できる非線形プラントが得られます。

この区別が重要なのは、サーボ空圧位置決めシステムが少なくとも3つの機能要素、すなわち変位フィードバック付きアクチュエータ、比例方向制御弁、位置コントローラで構成されるためです（Festo、2026-07-23閲覧）。シリンダの公式だけでは、この完全なループの挙動を予測できません。

要点

少なくとも4つの基本状態、すなわち位置、速度、2つのチャンバ絶対圧力をモデル化します。

ポートサイズを流量モデルにせず、ISO 6358データまたは実測したバルブマップを使用します。

定義した動作点で線形化し、コントローラゲインをスケジューリングする前に、圧力と動作を一緒に検証します。

圧縮係数は実際には何を意味するのか？

NISTは、無次元の圧縮係数 $Z$ を、実在気体の方程式における空気の非理想性を補正する係数と定義しています。これはシリンダ剛性でもコントローラゲインでもありません（NIST、2026-07-23閲覧）。したがって、サーボ空圧モデルでは3つの異なる量、すなわち $Z$ 、過程指数、機械的な空気ばね剛性を分けて扱う必要があります。

質量ベースの実在気体モデルは、次のように表します。

pV = ZmRT

単位と基準状態が重要です。

ここで、 $p$ はパスカル単位の絶対圧力、 $V$ は立方メートル単位の気体体積、 $m$ はキログラム単位の空気質量、 $R$ は空気の比気体定数、 $T$ はケルビン単位の絶対温度です。 $Z = 1$ とすれば理想気体近似になります。この近似が十分かどうかは、必要なモデル精度、圧力、温度、湿度の範囲によって決まります。圧縮係数は、上で説明した実在気体補正です。ポリトロープ指数は、圧縮または膨張中に仮定する熱過程を表します。これは別の問いに答える量です。

pV^n = C

指数 $n$ は、モデル化する事象における熱伝達挙動の仮定を表し、 $C$ はその理想化した過程で一定です。 $Z$ と置き換えることはできません。速い動作では断熱過程に近づく場合があり、熱交換が大きい遅い事象では等温過程に近い挙動になる場合があります。選択した値を文書化し、実測圧力と照合する必要があります。

空圧剛性は、局所的な力と変位の関係から得られる結果です。2つの閉じ込めチャンバについて、微小信号の有用な近似は次のとおりです。

k_{\mathrm{air}} = \frac{n p_1 A_1^2}{V_1} + \frac{n p_2 A_2^2}{V_2}

チャンバ圧力 $p_1$ と $p_2$ は絶対圧力でなければなりません。面積 $A_1$ と $A_2$ は有効ピストン面積であり、体積 $V_1$ と $V_2$ には、該当するバルブ状態によって閉じ込められるポート、継手、チューブ、バルブ側空洞が含まれます。この式が表すのは1つの動作点であり、移動軸全体の動力学ではありません。この剛性項の物理的意味とストロークに沿った変化については、シリンダ制御における空気の圧縮性の別ガイドを参照してください。本記事は、その説明の先、つまり実測した圧力と動作を予測できる制御モデルの構築から始めます。

最小限の非線形プラントモデルとは？

RicherとHurmuzluは、非線形バルブ流量、チャンバの圧縮性、漏れ、不活性容積、空圧配管の影響を考慮し、2種類のシリンダと複数の接続チューブ長で詳細な空圧アクチュエータモデルを検証しました（ASME、2000）。実用上の最初のモデルはもっと小さくて構いませんが、2つのチャンバ圧力を同時に省略することはできません。

2つの圧力状態は不可欠です。

蓄積された空圧エネルギーを見える形にする状態ベクトルを選びます。

\mathbf{x}_s = [x,\dot{x},p_1,p_2]^\mathsf{T}

位置は $x$ 、速度は $\dot{x}$ 、 $p_1$ と $p_2$ はチャンバの絶対圧力です。4状態モデルで必要な挙動を再現できないことが測定で分かった場合に限り、バルブスプール位置、配管状態、温度状態、摩擦状態を追加します。

2つのチャンバ容積は互いに反対方向へ変化します。

V_1(x) = V_{10} + A_1 x

V_2(x) = V_{20} + A_2(L-x)

$V_{10}$ と $V_{20}$ は、すきま容積と接続されたデッドボリュームを含む、選択した位置原点における有効端部容積です。 $L$ は使用可能ストロークです。符号規約は反転しても構いませんが、容積、圧力、力、センサーの各式で一貫させる必要があります。

単純化した理想気体、集中温度、ポリトロープモデルでは、各チャンバを次のように表せます。

\dot{p}_i = \frac{nRT_i}{V_i}\dot{m}_i - \frac{n p_i}{V_i}\dot{V}_i

$\dot{m}_i$ はチャンバ $i$ へ流入する正味質量流量の符号付き値です。この式はモデル化の選択であり、すべての過渡現象に普遍的に適用される法則ではありません。熱伝達、漏れ、温度変化によって残差が許容できない場合は、コントローラゲインに不一致を隠すのではなく、エネルギーモデルを拡張する必要があります。

空圧推力と移動負荷の式は次のとおりです。

F_p = p_1 A_1 - p_2 A_2

M_{\mathrm{eq}}\ddot{x} = F_p - F_{\mathrm{friction}} - F_{\mathrm{load}} - F_{\mathrm{mechanical}}

$M_{\mathrm{eq}}$ は反映された移動質量です。残りの項は、シールとガイドの摩擦、作用負荷、必要に応じた重力、機構の力を表します。ロッドレスシリンダは公称圧力面積が等しい場合がありますが、キャリッジ摩擦、シールバンド、ガイド機構、外部機構によって、2方向の動作は依然として異なります。

私たちの経験では、モデルの次数は観測可能な誤差に合わせるべきです。まず4状態と実測したバルブマップから始めます。バルブ遅れ、配管充填、熱遅れ、動摩擦など、繰り返し現れる残差に物理的な説明がある場合だけ状態を追加します。パラメータが同定されていない大規模モデルは、試運転データには適合しても、新しいペイロードの予測が悪くなることがあります。

最小限のモデルは、バルブ指令から質量流量、チャンバ圧力、ピストン推力、動作、実測フィードバックまでの因果関係を保ちます。

バルブの質量流量はどのように表現すべきか？

ISO 6358-1は、固定または可変の流路を持つ圧縮性流体部品について定常状態の試験方法を定めています。ただし、シリンダ、アキュムレータ、内部フィードバック付きレギュレータ、不安定な係数を持つ部品は対象外です（ISO、2026年確認）。この規格を動的なシリンダ試験とみなさず、そのバルブデータをプラントモデル内で使用してください。

各絞り通路を、符号付き関数として表します。

\dot{m} = f(u,p_u,p_d,T_u)

バルブ指令は $u$ 、上流の絶対圧力は $p_u$ 、下流の絶対圧力は $p_d$ 、上流温度は $T_u$ です。この関数では、チョーク流れ領域と亜音速領域を含め、供給からチャンバへの流れとチャンバから排気への流れを区別する必要があります。公称流量を1つ示すだけでは、この特性面を定義できません。

優先すべき入力は、次の順序です。

対象バルブと駆動電子回路の、実測した指令・圧力・流量マップ。
供給圧力、下流圧力、温度、指令条件が明記されたメーカー曲線。
対応モデルのISO 6358音速コンダクタンスと臨界圧力比のデータ。
ジオメトリと仮定を検証した流出係数モデル。

ポートサイズは流量モデルではありません。

明記されていない圧力基準で測定したカタログ流量値も、流量モデルにはなりません。コントローラがバルブの不感帯または飽和付近で動作するなら、その領域を明確に同定してください。そうしないと、圧力モデルが正しく見えても制御入力が間違っている可能性があります。バルブからシリンダまでのチューブもモデル境界に含めます。短い配管は制御対象の容積を減らしますが、内径が小さいと質量流量を制限します。関連する比例弁の選定ガイドではハードウェアのサイズ選定を扱っています。本モデルでは、一般的な「サーボバルブ」の定数ではなく、選定したバルブの実際の特性を使用してください。

定義した動作点の周りで線形化する

2004年のサーボ空圧研究では、圧力差と摩擦の情報を使うブラックボックスモデルとグレーボックスモデルという2つの局所モデル構造を作成し、動作領域ごとに状態フィードバックコントローラをスケジューリングしました（制御工学実務、2004）。ここから得られる教訓は、普遍的なゲイン式ではありません。すべての線形モデルは、明示された平衡点とスケジューリング変数に属します。

「局所」とは、文字どおり局所です。

非線形プラントを $\dot{\mathbf{x}}_s = \mathbf{f}(\mathbf{x}_s,u)$ と表し、平衡条件を満たす動作点 $(\bar{\mathbf{x}}_s,\bar{u})$ を選びます。局所摂動モデルは次のとおりです。

\delta\dot{\mathbf{x}}_s = \mathbf{A}\,\delta\mathbf{x}_s + \mathbf{B}\,\delta u

\delta y = \mathbf{C}\,\delta\mathbf{x}_s + \mathbf{D}\,\delta u

行列は、選択した動作点で評価したヤコビアンです。各セットについて、ピストン位置、ペイロード、供給圧力、チャンバ圧力、バルブバイアス、温度の仮定、動作方向を記録します。動作点のない伝達関数は不完全です。軸が移動するとチャンバ容積とバルブの圧力比が変化するためです。

空気ばね剛性の推定値は、極の1組を解釈するのに役立ちます。

\omega_n \approx \sqrt{\frac{k_{\mathrm{air}}+k_{\mathrm{mechanical}}}{M_{\mathrm{eq}}}}

$\omega_n$ は、ラジアン毎秒で表す無減衰の局所固有周波数です。閉ループ帯域幅と自動的に同じになるわけではありません。バルブ動特性、減衰、遅れ、フィードバックフィルター、飽和、摩擦、モデル化していない構造によって、実測応答は変化します。共振がコントローラ合成より主な問題である場合は、別の固有周波数計算ガイドを使用してください。

ゲインスケジュールは、チャンバ容積に比例ゲインを1つ掛けて拡大するのではなく、検証済みコントローラ間を補間するべきです。スケジュールされた各プラントと、その間の遷移を確認してください。位置はスケジューリング変数の1つになり得ますが、生産中に変化するなら、ペイロード、圧力、方向、バルブの動作領域も同じくらい重要です。

機上でどのパラメータを同定すべきか？

2017年の実験手法では、デッドボリュームを同定することで、チャンバ圧力、ピストン速度、ピストン位置という3つの実測出力についてモデルの一致度が向上しました（シミュレーションモデリング実践と理論、2017）。この結果は、デッドボリュームが、1本の位置波形に合うまで調整する都合のよい値ではなく、測定すべきパラメータであることを示しています。

取得方法ごとにパラメータを分けます。

パラメータ群	最初に参照する資料	同定試験	検証信号
ボア、有効面積、ストローク	図面とデータシート	寸法確認	終端位置と力の釣り合い
チャンバと接続配管のデッドボリューム	CADとチューブ容積計算	隔離した圧力・容積試験	両チャンバの圧力波形
バルブ流量特性面	メーカー資料	制御した圧力・流量マッピング	圧力上昇と排気減衰
バルブ不感帯と遅れ	電子回路とバルブのデータシート	小さな指令の掃引とステップ	指令から圧力発生まで
移動質量と外部負荷	質量・機構の計算	既知負荷の動作試験	加速度と力の残差
摩擦	初期シール・ガイドデータ	双方向の低速試験と離脱試験	速度に対する圧力・力の残差
漏れ	部品限界値	隔離した圧力保持試験	一定容積での圧力減衰
熱挙動	仮定した過程モデル	低速・高速の反復サイクル	滞留時間・温度に対する圧力残差

すべてのパラメータを1回の位置ステップから同定しないでください。複数のパラメータの組み合わせが似た動作を生みながら、チャンバ圧力を誤って予測することがあります。可能な限り独立した試験を使い、別のデータセットを検証用に残します。同じデータでモデルを調整して証明すると、過適合を見逃す可能性があります。測定の時間基準も重要です。バルブ指令、可能ならバルブフィードバック、バルブ入口の供給圧、両シリンダポートの圧力、位置、ペイロード、タイムスタンプを同期して記録します。静的なレギュレータゲージでは、加速中の圧力崩壊を確認できません。供給側試験については空気圧変動のガイドを参照してください。位置だけでは、流量制限と離脱摩擦を分離できません。

モデルはコントローラ設計をどう変えるか？

Festoはサーボ空圧位置決めシステムに必要な3つの要素を説明しています。一方、2004年のゲインスケジューリング研究は、普遍的なPID倍率ではなく局所モデルと状態フィードバックを使用しました（Festo、2026-07-23閲覧；Schulte／Hahn、2004）。コントローラの選択は、実測したプラント変動と利用可能なフィードバックに従うべきです。

観測されたプラント挙動	妥当な出発点となる構成	必要な証拠
1つの動作領域、非線形性が小さい	固定ゲインの位置または状態コントローラ	通常の負荷・圧力範囲での安定性と整定
位置に依存する動特性が再現する	ゲインスケジュール式コントローラ	各局所プラントと補間中の安定性
追従誤差が既知の軌道推力に支配される	モデルベースのフィードフォワードとフィードバック	逆バルブマップ、飽和処理、ペイロード感度
チャンバ圧力の動特性が外乱抑制を制限する	動作ループ内の圧力フィードバック	センサー帯域、ノイズ、ループ分離、故障時挙動
不確実性または摩擦・負荷の変化が大きい	適応型、不確実性を考慮した方式、または非線形方式	有界パラメータ、安定性の説明、最悪条件試験

フィードフォワードは、バルブ指令の直接式ではなく力の釣り合いから始めます。必要な圧力推力は次のように推定できます。

F_{p,\mathrm{req}} = M_{\mathrm{eq}}\ddot{x}_{\mathrm{ref}} + F_{\mathrm{load}} + \hat{F}_{\mathrm{friction}}

次に、必要な2つのチャンバ圧力が、供給圧力、排気圧力、力の方向、圧力限界を満たす必要があります。これらの圧力目標をバルブ指令に変換するには、逆バルブ流量モデルとチャンバ状態が必要です。力を圧力差と面積で割っても、無次元のバルブ指令にはなりません。

別の機械のサンプリングレートをそのままコピーしないでください。コントローラ周期は、実測したバルブ、圧力、センサー、計算、機械の動特性から選び、フィルタリングと遅れのための余裕を確保します。安全な試運転の順序は、保守的な限界値、信号極性の検証、開ループ特性評価、1つずつの閉ループ、最後に完全なペイロードと供給範囲です。

動画： S2位置決め：ロッドレスシリンダの位置決めを改善（Enfield Technologies）。ロッドレスシリンダ軸で外部フィードバックと電子バルブ制御を使う実例です。

ハードウェアと試運転の全体像については、サーボ制御空圧システムで産業用途の位置決め精度を高める方法を参照してください。ここで説明するパラメータ推定の課題と、同ガイドの部品選定の課題は分けて扱います。

間違ったモデルを明らかにする検証ワークフロー

検証済みのASMEモデルは、同定に使ったデータセットだけでなく、2種類のシリンダと異なるチューブ長で予測を比較しました（Richer／Hurmuzlu、2000）。同様に受入試験にも、適合に使わなかった条件、例えば別の位置、ペイロード、方向、圧力、軌道、チューブ構成を含めるべきです。

検証は段階的に行います。

静的な形状と力： 面積、容積、符号規約、重力、平衡圧力を確認する。
バルブとチャンバの試験： 実測・予測した圧力上昇、圧力減衰、不感帯、遅れを、実用上可能な場合は一定容積で比較する。
低速動作： 離脱摩擦、ヒステリシス、ガイド抵抗、方向依存の残差を明らかにする。
動的軌道： 適合に使わなかった動作条件で、指令、両方の圧力、位置、速度、加速度を比較する。
閉ループ試験： プロセス基準位置で、整定、オーバーシュート、定常誤差、飽和、外乱応答、安全状態の挙動を確認する。

残差は証拠です。

1つの平均誤差だけでなく、残差の形状を確認してください。滞留時間とともに増える圧力残差は、熱的な不一致または漏れを示します。方向によって符号が変わる動作残差は、摩擦または負荷モデルを示します。両方の圧力波形に共通する遅れは、バルブまたはデータ取得系に由来する可能性があります。圧力がきれいなのに高周波の位置誤差がある場合は、空圧モデルの外側にあるセンサーまたは機械の動特性を示すことがあります。

検証では、意思決定に答えられるようにします。すなわち、そのモデルは部品選定、フィードフォワード、ゲインスケジューリング、故障検出、安全関連の監視のどの用途に対して十分な精度があるのかを明確にします。用途ごとに必要な誤差限界は異なります。ストローク時間を推定できるモデルでも、圧力状態フィードバックには不十分な場合があります。また、公称モデルが良好でも、センサー、バルブ、供給の故障後の挙動を証明することにはなりません。

意図した制御タスクに対して残る誤差が十分小さいことを、未使用データによる試験で確認して初めてモデルを使用できます。

量産リリース前に、蓄積された空圧エネルギーをどのように隔離するか、垂直または吊り下げ荷重をどのように支持するか、指令またはフィードバックを失った後に何が起きるか、再起動をどのように許可するかを定義してください。制御性能が機械のリスクアセスメントに取って代わることはありません。

サーボ空圧モデル化に関するFAQ

ISO 6358-1は部品の定常流量試験を扱い、上で引用した検証済み非線形モデルは2種類のシリンダと複数のチューブ構成を使いました。以下の4つの質問では、制御モデルを誤らせやすい境界、すなわち気体用語、圧力基準、動作点のカバレッジ、同期測定を扱います（ISO、2013；ASME、2000）。

圧縮係数Zは空圧剛性と同じですか？

いいえ。 $Z$ は実在気体の方程式を非理想挙動に合わせて補正します。空圧剛性は、チャンバ圧力、有効ピストン面積、閉じ込め容積、仮定した熱過程から導く、局所的な力と変位の関係です。コントローラが両方の概念を使うことはありますが、一方を他方で置き換えると、単位も物理的な意味も誤ります。

モデルにはゲージ圧と絶対圧のどちらを使うべきですか？

気体状態、密度、圧力比、質量流量、剛性、温度の関係式には絶対圧力を使用してください。大気の影響を一貫して扱うなら、ゲージ圧は作業者用表示や力の計算に使えます。大気基準を記録し、ゲージ圧の値を理想気体式やポリトロープ式に直接代入しないでください。

1つの線形モデルでシリンダの全ストロークをカバーできますか？

必要な性能に対してプラントの変動が許容範囲に収まることを、検証で示せる場合だけです。チャンバ容積、バルブ圧力比、摩擦、ペイロード、方向によって局所動特性は変化します。より広い範囲が必要なら、位置だけでゲインを拡大できると仮定せず、複数の動作点を同定し、各コントローラとその間の補間を検証してください。

モデル検証中にどの信号を記録すべきですか？

バルブ指令、可能な場合はバルブフィードバック、バルブ入口の供給圧力、両シリンダポートの圧力、位置、ペイロード条件、同期したタイムスタンプを記録します。速度と加速度は、フィルタリング方法を文書化したうえで導出してください。残差から必要性が分かる場合は、温度、力、流量を追加します。アクチュエータ内部のセンサーだけでなく、プロセス基準位置で検証してください。

出典と技術資料

NIST：空気の圧縮係数の計算、2026-07-23閲覧。
ISO 6358-1：圧縮性流体を用いた流量特性の決定、2026-07-23閲覧。
Richer／Hurmuzlu：高性能空圧力アクチュエータシステム第1部、2026-07-23閲覧。
Schulte／Hahn：サーボ空圧アクチュエータのファジー状態フィードバック・ゲインスケジューリング制御、2026-07-23閲覧。
サーボ空圧アクチュエータシステムの非線形モデリングと同定の改善、2026-07-23閲覧。
Festo：サーボ空圧位置決めシステム、2026-07-23閲覧。

サーボ空圧：制御ループにおける圧縮係数のモデル化

Eric Zhou