Cálculo de la frecuencia natural en sistemas neumáticos

La frecuencia natural de un cilindro neumático es la frecuencia de oscilación libre del cilindro, la carga móvil y la estructura conectada alrededor de un estado de funcionamiento definido. Para un modelo de evaluación inicial, determine las áreas y los volúmenes de ambas cámaras en una posición especificada del pistón, utilice las presiones absolutas de las cámaras, calcule la rigidez neumática total y aplique después la ecuación de frecuencia natural del sistema masa-resorte.

El resultado no es una especificación universal del cilindro. El estado de la válvula, el volumen de las tuberías, la flexibilidad del montaje, la fricción, los modos estructurales, el comportamiento del lazo de control, los cambios de carga y la posición del pistón pueden modificar la respuesta medida. El cálculo resulta más útil cuando se documentan sus supuestos y se verifica la predicción en la máquina montada.

Puntos clave

Un cilindro de doble efecto se comporta como 2 resortes neumáticos cuando ambas cámaras están cerradas.

La presión debe ser absoluta y el volumen de cada cámara debe incluir el volumen muerto.

En el ejemplo resuelto, la frecuencia prevista cambia de 4,82 Hz a mitad de carrera a 6,83 Hz cerca de un extremo.

El amortiguamiento y la frecuencia de excitación determinan si una frecuencia natural se convierte en una resonancia perjudicial.

Para la comprobación de carga estática previa a cualquier modelo dinámico, consulte nuestra guía de la fórmula de fuerza del cilindro. Si la máquina golpea la tapa final en lugar de oscilar alrededor de una posición, utilice la guía de amortiguación de cilindros neumáticos.

Comience con el modelo neumático correcto

Doll, Neumann y Sawodny modelan un cilindro neumático como 1 masa móvil conectada a un resorte de aire, con ambas cámaras cerradas para que la masa de aire comprimido de cada cámara permanezca constante (Dimensionamiento de cilindros neumáticos para tareas de movimiento, 2015). Estas condiciones de contorno definen el cálculo preliminar utilizado aquí.

Cilindro neumático de tirantes ISO 15552 utilizado para ilustrar una configuración de cilindro de doble efecto con vástago

Una válvula direccional real modifica el modelo. Si una válvula conecta una cámara a la alimentación y la otra al escape, la masa de las cámaras deja de ser fija. Una servoválvula y su controlador pueden aportar rigidez y amortiguamiento efectivos, mientras que un tubo largo o un depósito añaden volumen y dinámica de flujo. Indique el estado de la válvula antes de citar una frecuencia.

El modelo útil más sencillo contiene estos elementos:

presión, área y volumen total de la cámara 1;
presión, área y volumen total de la cámara 2;
pistón, vástago o carro, carga útil y demás masa mecánica móvil;
amortiguamiento procedente de la fricción, las juntas, las guías, los conductos de flujo y las estructuras acopladas;
cualquier rigidez mecánica que actúe realmente en paralelo con la rigidez neumática.

Modelo preliminar de un cilindro de doble efecto mantenido cerca de una posición de funcionamiento definida. La fórmula siguiente trata las dos cámaras cerradas como resortes neumáticos; la máquina montada puede tener modos adicionales.

No sume todos los componentes cercanos en un único valor de rigidez. Por ejemplo, un soporte que se flexiona en serie con el cilindro reduce la rigidez combinada. Un resorte de retorno en paralelo añade rigidez. Un bastidor flexible puede crear un modo independiente que requiera un modelo con varios grados de libertad o un análisis por elementos finitos.

La primera pregunta más útil no es «¿Cuál es la frecuencia natural de este cilindro?», sino «¿Qué estado físico y qué modo estamos calculando?». Un cilindro a mitad de carrera con los puertos bloqueados es un sistema dinámico distinto del mismo cilindro moviéndose a través de una válvula reguladora.

¿Cómo se calculan las áreas y los volúmenes de las cámaras?

Un modelo experimental de cilindro de doble efecto utiliza 2 áreas efectivas del pistón y define el volumen de cada cámara como el volumen inactivo del extremo más el volumen barrido dependiente de la posición (Estudio experimental de un cilindro neumático de doble efecto, 2020). Esta estructura evita un error habitual: utilizar el área completa del pistón y el volumen de toda la carrera en ambos lados.

Para un cilindro de vástago simple con diámetro interior $D$ y diámetro de vástago $d$ :

A_1 = \frac{\pi D^2}{4}

A_2 = A_1 - \frac{\pi d^2}{4}

$A_1$ es el área efectiva del lado de la tapa y $A_2$ es el área anular del lado del vástago, ambas en metros cuadrados cuando los diámetros se introducen en metros. Un cilindro sin vástago normalmente utiliza áreas efectivas iguales solo cuando su construcción interna permite esa hipótesis.

En la posición del pistón $x$ , medida desde el lado de la tapa, los volúmenes de las cámaras son:

V_1 = V_{d1} + A_1 x

V_2 = V_{d2} + A_2(L-x)

$L$ es la carrera total en metros. $V_{d1}$ y $V_{d2}$ son los volúmenes inactivos de cada lado, incluidas las cavidades de las tapas, los puertos, los racores, los pasos de sensores y cualquier volumen de tubo conectado que siga formando parte del gas atrapado. Introduzca todos los volúmenes en metros cúbicos.

Es fácil subestimar el volumen del tubo. Una válvula remota o una manguera larga aumenta el volumen comprimido sin incrementar el área del pistón, lo que reduce la rigidez neumática. La calculadora de volumen de tubos neumáticos puede ayudar a cuantificar este dato, pero no calcula la frecuencia natural.

Utilice presión absoluta en la ecuación de rigidez. Convierta una lectura manométrica sumando la presión atmosférica local, con unidades compatibles. Una alimentación nominal de 6 bar manométricos equivale aproximadamente a 7 bar absolutos cerca del nivel del mar, pero las presiones reales de las cámaras durante la retención o el movimiento pueden diferir del ajuste del regulador.

¿Cómo se calculan la rigidez neumática y la frecuencia natural?

El análisis de Czmerk sobre cilindros de doble efecto muestra que la rigidez pasiva cambia a lo largo de la carrera y que los volúmenes muertos son importantes cerca de las posiciones finales (Aumento de la rigidez de un cilindro neumático de doble efecto, 2015). La rigidez neumática es la fuerza restauradora incremental por unidad de desplazamiento del pistón alrededor de un estado definido. La linealización de ambas cámaras cerradas proporciona este modelo.

k_p = nP_1\frac{A_1^2}{V_1} + nP_2\frac{A_2^2}{V_2}

$k_p$ es la rigidez neumática en newtons por metro. $P_1$ y $P_2$ son las presiones absolutas de las cámaras en pascales. $A_1$ y $A_2$ son las áreas efectivas en metros cuadrados. $V_1$ y $V_2$ son los volúmenes comprimidos totales en metros cúbicos. El exponente politrópico adimensional $n$ describe la transferencia de calor durante el pequeño cambio de presión y volumen.

Para un comportamiento idealizado del gas, $n=1$ representa un proceso isotérmico y $n=1.4$ uno adiabático; las condiciones intermedias se sitúan entre ambos (Modelado mediante redes neuronales de la rigidez dinámica de un resorte neumático basado en su física neumática, 2026). Esa fuente estudia resortes neumáticos, por lo que el intervalo debe utilizarse como orientación sobre el proceso del gas, no como valor de ensayo universal del cilindro. Si no existe un valor validado, realice un análisis de sensibilidad en lugar de ocultar el supuesto.

Si un resorte mecánico actúa en paralelo, su rigidez puede sumarse a $k_p$ . No sume sin más la rigidez del bastidor, soporte, acoplamiento o guía, salvo que la trayectoria de carga demuestre que están en paralelo. Denomine $k_{\mathrm{total}}$ al resultado correctamente combinado.

La frecuencia natural no amortiguada es:

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{total}}}{m_{\mathrm{eff}}}}

$f_n$ se expresa en hercios, $k_{\mathrm{total}}$ en newtons por metro y $m_{\mathrm{eff}}$ en kilogramos. La masa efectiva incluye normalmente la carga útil, el pistón y el vástago o carro, el utillaje y la fracción móvil adecuada de los enlaces flexibles. No añada la masa de aire comprimido como si se trasladara rígidamente con la carga.

Para una estimación de un solo modo con amortiguamiento ligero, la frecuencia de vibración libre amortiguada es:

f_d = f_n\sqrt{1-\zeta^2}

$\zeta$ es la relación de amortiguamiento. Esta relación solo es útil cuando domina un modo y el amortiguamiento puede representarse aproximadamente como viscoso. La fricción de las juntas y el fenómeno de adherencia-deslizamiento son no lineales, por lo que el comportamiento a baja velocidad puede no ajustarse a este modelo.

Ejemplo resuelto: cilindro de 63 mm de diámetro a mitad de carrera

Con las ecuaciones de 2 cámaras anteriores, un cilindro de 63 mm de diámetro, vástago de 20 mm, carrera de 400 mm, masa efectiva de 25 kg, volumen muerto de 50 cm³ por lado, presión absoluta de 7 bar en cada cámara y $n=1.2$ proporciona una frecuencia natural prevista a mitad de carrera de 4,82 Hz. Es un resultado del modelo, no una especificación de catálogo.

Suponga que el pistón está en $x=0.200\ \mathrm{m}$ e ignore la rigidez mecánica adicional en esta primera aproximación.

Dato	Valor
Diámetro interior, $D$	0.063 m
Diámetro del vástago, $d$	0.020 m
Carrera, $L$	0.400 m
Posición, $x$	0.200 m
Volumen muerto por cámara	0.000050 m³
Presión absoluta en cada cámara	700,000 Pa
Exponente politrópico, $n$	1.2
Masa móvil efectiva, $m_{\mathrm{eff}}$	25 kg

Las áreas calculadas son $A_1=0.003117\ \mathrm{m^2}$ y $A_2=0.002803\ \mathrm{m^2}$ . Los volúmenes totales de las cámaras a mitad de carrera son $V_1=0.000673\ \mathrm{m^3}$ y $V_2=0.000611\ \mathrm{m^3}$ .

Las dos contribuciones de rigidez de las cámaras son aproximadamente 12,120 N/m y 10,809 N/m:

k_p = 12120 + 10809 = 22929\ \mathrm{N/m}

Sustituyendo la masa efectiva de 25 kg:

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{22929}{25}} = 4.82\ \mathrm{Hz}

¿Qué ocurre si se duplica la masa efectiva mientras la rigidez permanece igual? La frecuencia natural disminuye según la raíz cuadrada de la relación de masas, por lo que el nuevo valor es aproximadamente $f_n=3.41\ \mathrm{Hz}$ . A la inversa, reducir la masa sin comprobar la excitación puede desplazar una resonancia hacia otra armónica de funcionamiento más alta.

Trate la hoja de cálculo como un modelo de sensibilidad. Cambie una entrada incierta cada vez, incluidos el volumen muerto, $n$ , la presión de las cámaras, la masa móvil y la rigidez estructural. Una única respuesta precisa puede ser menos útil que un intervalo de frecuencias justificable que muestre qué medición tiene mayor importancia.

¿Por qué cambia la frecuencia natural a lo largo de la carrera?

Para un cilindro sin vástago con volúmenes muertos iguales y la misma presión en ambas cámaras, Doll y sus colaboradores identifican la posición central como el punto de rigidez mínima en su modelo simplificado (Dimensionamiento de cilindros neumáticos para tareas de movimiento, 2015). Un cilindro de vástago simple es asimétrico, pero los volúmenes de sus dos cámaras también cambian continuamente con la posición del pistón.

El uso de los mismos datos del ejemplo resuelto en 5 posiciones produce este resultado derivado del modelo:

Posición desde el lado de la tapa	Rigidez neumática	Frecuencia natural prevista
50 mm	46,051 N/m	6.83 Hz
100 mm	29,974 N/m	5.51 Hz
200 mm	22,929 N/m	4.82 Hz
300 mm	28,267 N/m	5.35 Hz
350 mm	41,863 N/m	6.51 Hz

El mínimo de este ejemplo está cerca de la mitad de la carrera porque allí ambos volúmenes comprimidos son relativamente grandes. Cerca de un extremo, una cámara se vuelve pequeña y su contribución a la rigidez aumenta con rapidez. Las presiones reales pueden ser desiguales y unos volúmenes muertos diferentes pueden desplazar el mínimo.

Cilindro sin vástago de unión mecánica utilizado para ilustrar la masa del carro, el volumen de las cámaras en carreras largas y los efectos de las guías

Un cilindro sin vástago no tiene automáticamente una frecuencia natural mayor. Eliminar el vástago puede reducir la masa móvil, pero una carrera larga aumenta el volumen de las cámaras; además, el carro, la guía, la banda de sellado, el acoplamiento magnético, el desplazamiento de la carga y la distancia entre soportes pueden introducir flexibilidad o modos adicionales. Compare el conjunto móvil completo en el mismo estado de funcionamiento.

Por este motivo, un problema medido puede aparecer solo en una parte del recorrido. Repita el cálculo y la prueba en las posiciones de funcionamiento relevantes, incluido el arranque con carga, la mitad de carrera, la posición de proceso y la aproximación al final. Para los efectos de la instalación, utilice la guía de montaje y alineación de actuadores y la guía de montaje de cilindros sin vástago.

La resonancia depende del amortiguamiento y la excitación

Con una relación de frecuencias de $r=1$ , un modelo lineal de un grado de libertad ofrece una amplificación del desplazamiento de 10 cuando $\zeta=0.05$ , pero solo de 2,5 cuando $\zeta=0.20$ . El cálculo sigue la ecuación estándar de respuesta forzada que aparece a continuación. Esto demuestra por qué ninguna afirmación fija de «10 a 50 veces» puede describir todas las máquinas neumáticas.

La relación de frecuencias es la frecuencia de excitación dividida por la frecuencia natural. Se define como:

r = \frac{f_{\mathrm{exc}}}{f_n}

$f_{\mathrm{exc}}$ es la frecuencia de excitación y $f_n$ la frecuencia natural calculada. Para un sistema lineal de un solo modo forzado armónicamente, la amplificación del desplazamiento es:

M(r) = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}

$M$ es la relación entre la amplitud de desplazamiento en régimen permanente y el desplazamiento estático correspondiente. Con $r=1$ , se simplifica a $M=1/(2\zeta)$ . Un amortiguamiento bajo crea un pico más pronunciado; uno mayor lo reduce y ensancha. La fórmula no es válida para topes rígidos, impactos por holgura, fricción de juntas fuertemente no lineal, saturación de válvulas ni varios modos acoplados.

¿Qué se considera excitación? Compruebe la frecuencia de ciclo programada, los armónicos del perfil de movimiento, la conmutación de las válvulas, los equipos giratorios cercanos, el paso de dientes o cavidades del transportador, la pulsación del compresor y los impactos repetidos al final de carrera. Un ciclo de máquina de un segundo tiene una frecuencia fundamental de 1 Hz, pero su forma de onda de aceleración puede contener armónicos mucho más altos.

No clasifique cada pico de vibración como resonancia neumática. Si el pico se desplaza al cambiar la presión de las cámaras, probablemente intervenga la rigidez neumática. Si permanece casi fijo mientras lo afectan cambios de montaje o carga útil, puede dominar un modo estructural. Si la oscilación depende mucho de la ganancia, la banda muerta o el muestreo del controlador, investigue el lazo de control.

¿Cómo se debe verificar el cálculo en la máquina?

Un estudio sobre un cilindro de doble efecto muestreó la presión y el desplazamiento cada 0,1 ms y repitió cada condición 45 veces para caracterizar el comportamiento dinámico (Estudio experimental de un cilindro neumático de doble efecto, 2020). Una comprobación en fábrica no tiene que copiar ese protocolo de laboratorio, pero debe sincronizar las señales de movimiento, presión y vibración.

Siga esta secuencia:

Defina el estado. Registre la posición del pistón, la carga útil, la orientación, las presiones de ambas cámaras, la orden de la válvula, el ajuste del regulador, los ajustes de control de caudal, las dimensiones de los tubos, el estado de las guías y la configuración de montaje.
Realice una prueba segura. Mantenga al personal fuera de la zona de movimiento, reduzca la energía cuando sea práctico y no barra una resonancia sospechosa con toda la fuerza de producción sin un plan de pruebas aprobado.
Mida las señales adecuadas. Coloque un acelerómetro en el carro móvil o la carga y, si es posible, otro en el bastidor. Añada las presiones de ambas cámaras y la posición o velocidad.
Excite con suavidad. Utilice un barrido programado de baja amplitud, un escalón controlado o una prueba de impacto documentada y adecuada para la máquina. Los impactos contra las tapas no sustituyen un método de excitación seguro.
Localice picos repetibles. Compare espectros, fase, frecuencia de caída libre de la oscilación y comportamiento presión-posición entre ensayos repetidos.
Cambie un parámetro. Repita con un cambio conocido de masa, presión o posición. Un modelo real debe predecir la dirección del desplazamiento de frecuencia.

Según nuestra experiencia, la mejora de diagnóstico más rápida procede de registrar las presiones de ambas cámaras en lugar de confiar en el manómetro del regulador. El regulador describe el ajuste de alimentación. No demuestra la presión atrapada, la contrapresión de escape ni la presión dinámica en el cilindro cuando se produce la vibración.

El estudio de 2005 sobre identificación de servosistemas neumáticos midió la frecuencia natural en función de la posición del pistón y utilizó esa curva para orientar el diseño del controlador (Noskievi, Identificación del servosistema neumático mediante oscilaciones autoexcitadas, 2005). Es un recordatorio útil: para el posicionamiento controlado, el mapa de frecuencias puede importar más que un único valor a mitad de carrera.

La norma ISO 20816-1:2016 proporciona condiciones y procedimientos generales para medir y evaluar las vibraciones en máquinas completas. Puede orientar un programa de vibraciones en planta, pero no establece un límite universal de resonancia para cilindros neumáticos ni sustituye el modelo de frecuencia y los criterios de aceptación específicos de la aplicación.

¿Qué debe cambiar cuando las frecuencias están demasiado próximas?

En el modelo de cámaras cerradas, duplicar la masa móvil manteniendo constante la rigidez reduce la frecuencia natural a aproximadamente el 70,7 % de su valor original. Doll y sus colaboradores también muestran que mantener la misma frecuencia propia después de duplicar la masa requiere un cambio de dimensionamiento correspondiente relacionado con la rigidez (Dimensionamiento de cilindros neumáticos para tareas de movimiento, 2015).

Elija una corrección que actúe sobre el mecanismo identificado:

Desplace la excitación. Cambie la temporización del ciclo, las rampas de aceleración, los tiempos de espera, la conmutación de válvulas o la velocidad de equipos giratorios cercanos para que los armónicos dominantes no exciten repetidamente el modo.
Cambie deliberadamente la masa móvil. Reducir la masa eleva la frecuencia natural cuando la rigidez permanece constante. Añadir masa la reduce. Cualquiera de las dos opciones puede ayudar o perjudicar, así que recalcule todo el intervalo de funcionamiento.
Cambie la rigidez neumática. La presión de las cámaras, el área del pistón, el volumen atrapado, el volumen muerto y el estado de la válvula afectan a la rigidez. Aumentar la presión puede elevarla, pero también cambia la fuerza disponible y la energía almacenada. Nunca trate la presión como un simple ajuste sin comprobar las especificaciones de los componentes y el riesgo de la máquina.
Corrija la trayectoria de carga. Refuerce un soporte flexible, acorte un tramo sin apoyo, elimine agarrotamientos o añada una guía adecuada cuando el modo medido sea estructural. Los pernos de montaje no deben forzar piezas desalineadas hasta su posición.
Añada amortiguamiento donde la energía se disipe de forma segura. Un amortiguador, un absorbedor de impactos, una amortiguación de fin de carrera o una estrategia de control deben corresponder al modo. El impacto al final de carrera requiere una revisión de la energía de amortiguación, no una fórmula de resonancia a mitad de carrera.
Reajuste el controlador después de identificar la planta. Una ganancia menor, órdenes filtradas, filtros de rechazo de banda o programación de ganancias pueden ayudar a un eje servoneumático, pero el software no debe ocultar soportes flojos, una guía insuficiente ni un problema de impacto.

No existe un porcentaje universal de separación segura para todas las máquinas neumáticas. Defina el intervalo de velocidad, carga, posiciones de carrera y presión, además de las perturbaciones plausibles; después verifique que la respuesta medida siga siendo aceptable en toda esa envolvente. Documente los ajustes finales para que mantenimiento pueda reconocer las desviaciones posteriores.

Preguntas frecuentes sobre el cálculo de la frecuencia natural

Estas 5 preguntas separan la ecuación preliminar de la máquina montada. El modelo utiliza 2 presiones de cámara, 2 áreas efectivas, 2 volúmenes de cámara, una masa efectiva y un estado de válvula especificado (Doll et al., 2015). Omitir cualquiera de estos datos puede cambiar el modo previsto.

¿La frecuencia de ciclo es igual que la frecuencia natural?

No. La frecuencia de ciclo es una frecuencia de funcionamiento programada, mientras que la frecuencia natural es una propiedad del sistema masa-rigidez alrededor de un estado definido. Un ciclo de 1 Hz puede contener armónicos de aceleración e impactos de mayor frecuencia. Compare el contenido de excitación medido con los modos calculados y medidos, en vez de comparar únicamente la frecuencia de ciclo.

¿Debe utilizarse presión manométrica o absoluta en la ecuación de rigidez?

Utilice la presión absoluta de la cámara. La rigidez del gas depende del estado presión-volumen del aire atrapado, por lo que la presión manométrica omite la presión atmosférica. Mida ambas cámaras en la condición de funcionamiento siempre que sea posible. El ajuste del regulador no sustituye las presiones reales de los lados de tapa y vástago, sobre todo cuando hay válvulas, tubos y restricciones de escape activos.

¿Un cilindro sin vástago siempre tiene una frecuencia natural mayor?

No. Un diseño sin vástago puede reducir la masa móvil del vástago, pero la frecuencia natural también depende de la masa del carro y la carga útil, los volúmenes de ambas cámaras, la presión, la rigidez de guías y soportes, el comportamiento del acoplamiento y la posición de carrera. Las carreras largas pueden aumentar el volumen atrapado e introducir modos estructurales; compare conjuntos completos bajo las mismas condiciones de contorno.

¿Cuándo debe repetirse el cálculo?

Repítalo después de cambios en la carga útil, el utillaje, la posición del pistón, la presión de funcionamiento, la longitud de tubos o mangueras, el estado de la válvula, el montaje, la rigidez de las guías, los ajustes de control o el perfil de movimiento. Recalcule también cuando la presión medida difiera del supuesto original. El resultado útil es un intervalo de frecuencias para casos de funcionamiento plausibles, no un único valor permanente.

¿Puede un cambio de velocidad del cilindro eliminar la resonancia?

Puede alejar la excitación de un modo, pero la velocidad es solo un factor. Un nuevo perfil de movimiento puede introducir armónicos distintos, y las aproximaciones más rápidas al final aumentan la energía de impacto. Mida la respuesta después de cambiar la velocidad y confirme después la amortiguación, el caudal de la válvula, el tiempo de ciclo, la estabilidad del control y toda la envolvente de funcionamiento antes de autorizar la operación.

Fuentes y referencias técnicas

Las fuentes técnicas están enlazadas en el punto donde se analiza cada supuesto del modelo, ecuación, método experimental o resultado derivado.

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¿Cómo calcular la frecuencia natural para evitar costosos fallos por resonancia en su sistema neumático?

Jack Chen