Calcolo della frequenza naturale nei sistemi pneumatici

La frequenza naturale di un cilindro pneumatico è la frequenza di oscillazione libera del cilindro, del carico in movimento e della struttura collegata attorno a uno stato operativo definito. Per un primo modello di verifica, determinare aree e volumi di entrambe le camere in una posizione dichiarata del pistone, usare le pressioni assolute delle camere, calcolare la rigidezza pneumatica totale e quindi applicare l’equazione della frequenza naturale del sistema massa-molla.

Il risultato non è un dato nominale universale del cilindro. Stato della valvola, volume dei tubi, cedevolezza dei fissaggi, attrito, modi strutturali, comportamento dell’anello di controllo, variazioni del carico e posizione del pistone possono modificare la risposta misurata. Il calcolo è più utile quando le ipotesi sono documentate e la previsione viene verificata sulla macchina assemblata.

Punti chiave

Un cilindro a doppio effetto si comporta come 2 molle pneumatiche quando entrambe le camere sono chiuse.

La pressione deve essere assoluta e il volume di ciascuna camera deve includere il volume morto.

Nell’esempio svolto, la frequenza prevista varia da 4,82 Hz a metà corsa a 6,83 Hz in prossimità di un’estremità.

Lo smorzamento e la frequenza di eccitazione determinano se una frequenza naturale si trasforma in una risonanza dannosa.

Per la verifica del carico statico che precede qualsiasi modello dinamico, consultare la nostra guida alla formula della forza del cilindro. Se la macchina urta la testata anziché oscillare attorno a una posizione, utilizzare invece la guida all’ammortizzazione dei cilindri pneumatici.

Iniziare dal modello pneumatico corretto

Doll, Neumann e Sawodny modellano un cilindro pneumatico come 1 massa mobile collegata a una molla ad aria, con entrambe le camere chiuse affinché la massa di aria compressa in ciascuna camera rimanga costante (Dimensionamento dei cilindri pneumatici per compiti di movimentazione, 2015). Queste condizioni al contorno definiscono il calcolo preliminare utilizzato qui.

Cilindro pneumatico a tiranti ISO 15552 usato per illustrare una configurazione a doppio effetto con stelo

Una valvola direzionale reale modifica il modello. Se una valvola collega una camera all’alimentazione e l’altra allo scarico, la massa nelle camere non è più fissa. Una servovalvola e il relativo controllore possono aggiungere rigidezza e smorzamento efficaci, mentre un tubo lungo o un serbatoio aggiungono volume e dinamica del flusso. Indicare lo stato della valvola prima di citare una frequenza.

Il modello utile più semplice comprende questi elementi:

pressione, area e volume totale della camera 1;
pressione, area e volume totale della camera 2;
pistone, stelo o carrello, carico utile e altra massa meccanica in movimento;
smorzamento dovuto ad attrito, tenute, guide, percorsi del flusso e strutture collegate;
qualsiasi rigidezza meccanica che agisca realmente in parallelo con quella pneumatica.

Modello preliminare di un cilindro a doppio effetto mantenuto vicino a una posizione operativa definita. La formula seguente tratta le due camere chiuse come molle pneumatiche; la macchina assemblata può presentare modi aggiuntivi.

Non sommare ogni componente vicino in un unico valore di rigidezza. Una staffa che flette in serie con il cilindro, per esempio, riduce la rigidezza combinata. Una molla di ritorno in parallelo aggiunge rigidezza. Un telaio flessibile può creare un modo separato che richiede un modello a più gradi di libertà o un’analisi agli elementi finiti.

La prima domanda più utile non è «Qual è la frequenza naturale di questo cilindro?», bensì «Quale stato fisico e quale modo stiamo calcolando?». Un cilindro a metà corsa con porte bloccate è un sistema dinamico diverso dallo stesso cilindro in movimento attraverso una valvola di regolazione.

Come si calcolano le aree e i volumi delle camere?

Un modello sperimentale di cilindro a doppio effetto utilizza 2 aree efficaci del pistone e definisce il volume di ciascuna camera come volume inattivo di estremità più volume spazzato dipendente dalla posizione (Studio sperimentale di un cilindro pneumatico a doppio effetto, 2020). Questa struttura evita un errore comune: utilizzare l’intera area del pistone e il volume dell’intera corsa su entrambi i lati.

Per un cilindro a stelo singolo con diametro dell’alesaggio $D$ e diametro dello stelo $d$ :

A_1 = \frac{\pi D^2}{4}

A_2 = A_1 - \frac{\pi d^2}{4}

$A_1$ è l’area efficace lato fondello e $A_2$ è l’area anulare lato stelo, entrambe in metri quadrati quando i diametri sono inseriti in metri. Un cilindro senza stelo utilizza normalmente aree efficaci uguali solo se la sua costruzione interna giustifica tale ipotesi.

Alla posizione del pistone $x$ , misurata dal lato fondello, i volumi delle camere sono:

V_1 = V_{d1} + A_1 x

V_2 = V_{d2} + A_2(L-x)

$L$ è la corsa totale in metri. $V_{d1}$ e $V_{d2}$ sono i volumi inattivi su ciascun lato, comprese cavità delle testate, porte, raccordi, passaggi dei sensori e qualsiasi volume di tubo collegato che rimanga parte del gas intrappolato. Inserire tutti i volumi in metri cubi.

È facile sottovalutare il volume dei tubi. Una valvola remota o un tubo flessibile lungo aumenta il volume compresso senza aumentare l’area del pistone, riducendo la rigidezza pneumatica. Il calcolatore del volume dei tubi pneumatici aiuta a quantificare questo dato, ma non calcola la frequenza naturale.

Usare la pressione assoluta nell’equazione della rigidezza. Convertire una lettura manometrica aggiungendo la pressione atmosferica locale, con unità compatibili. Un’alimentazione nominale di 6 bar manometrici equivale a circa 7 bar assoluti vicino al livello del mare, ma le pressioni effettive nelle camere durante il mantenimento o il movimento possono differire dall’impostazione del regolatore.

Come si calcolano la rigidezza pneumatica e la frequenza naturale?

L’analisi di Czmerk sul cilindro a doppio effetto mostra che la rigidezza passiva varia lungo la corsa e che i volumi morti sono rilevanti vicino alle posizioni terminali (Aumento della rigidezza di un cilindro pneumatico a doppio effetto, 2015). La rigidezza pneumatica è la forza di richiamo incrementale per unità di spostamento del pistone attorno a uno stato definito. La linearizzazione di entrambe le camere chiuse fornisce questo modello.

k_p = nP_1\frac{A_1^2}{V_1} + nP_2\frac{A_2^2}{V_2}

$k_p$ è la rigidezza pneumatica in newton per metro. $P_1$ e $P_2$ sono le pressioni assolute delle camere in pascal. $A_1$ e $A_2$ sono le aree efficaci in metri quadrati. $V_1$ e $V_2$ sono i volumi compressi totali in metri cubi. L’esponente politropico adimensionale $n$ descrive lo scambio termico durante la piccola variazione pressione-volume.

Per un comportamento idealizzato del gas, $n=1$ rappresenta un processo isotermo e $n=1.4$ un processo adiabatico; le condizioni intermedie ricadono tra questi valori (Modellazione mediante rete neurale della rigidezza dinamica di una molla ad aria basata sulla sua fisica pneumatica, 2026). La fonte studia molle ad aria, quindi utilizzare l’intervallo come indicazione sul processo del gas, non come valore di prova universale per i cilindri. Se non esiste un valore convalidato, eseguire un’analisi di sensibilità invece di nascondere l’ipotesi.

Se una molla meccanica agisce in parallelo, la sua rigidezza può essere aggiunta a $k_p$ . Non sommare semplicemente la rigidezza di telaio, staffa, giunto o guida, a meno che il percorso del carico dimostri che tali elementi sono in parallelo. Indicare il risultato correttamente combinato come $k_{\mathrm{total}}$ .

La frequenza naturale non smorzata è:

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{total}}}{m_{\mathrm{eff}}}}

$f_n$ è espressa in hertz, $k_{\mathrm{total}}$ in newton per metro e $m_{\mathrm{eff}}$ in chilogrammi. La massa efficace comprende normalmente carico utile, pistone e stelo o carrello, attrezzatura e la frazione mobile appropriata dei collegamenti flessibili. Non aggiungere la massa dell’aria compressa come se traslasse rigidamente con il carico.

Per una stima a singolo modo con smorzamento leggero, la frequenza di vibrazione libera smorzata è:

f_d = f_n\sqrt{1-\zeta^2}

$\zeta$ è il rapporto di smorzamento. Questa relazione è utile solo quando domina un solo modo e lo smorzamento può essere rappresentato approssimativamente come viscoso. L’attrito delle tenute e il fenomeno stick-slip sono non lineari, quindi il comportamento a bassa velocità potrebbe non adattarsi a questo modello.

Esempio svolto: cilindro con alesaggio di 63 mm a metà corsa

Applicando le equazioni a 2 camere precedenti, un cilindro con alesaggio di 63 mm, stelo di 20 mm, corsa di 400 mm, massa efficace di 25 kg, volume morto di 50 cm³ per lato, pressione assoluta di 7 bar in ciascuna camera e $n=1.2$ fornisce una frequenza naturale prevista a metà corsa di 4,82 Hz. È il risultato di un modello, non un dato di catalogo.

Si supponga che il pistone sia a $x=0.200\ \mathrm{m}$ e, per questa prima valutazione, si ignori la rigidezza meccanica aggiuntiva.

Dato	Valore
Diametro dell’alesaggio, $D$	0.063 m
Diametro dello stelo, $d$	0.020 m
Corsa, $L$	0.400 m
Posizione, $x$	0.200 m
Volume morto per camera	0.000050 m³
Pressione assoluta in ciascuna camera	700,000 Pa
Esponente politropico, $n$	1.2
Massa mobile efficace, $m_{\mathrm{eff}}$	25 kg

Le aree calcolate sono $A_1=0.003117\ \mathrm{m^2}$ e $A_2=0.002803\ \mathrm{m^2}$ . I volumi totali delle camere a metà corsa sono $V_1=0.000673\ \mathrm{m^3}$ e $V_2=0.000611\ \mathrm{m^3}$ .

I due contributi alla rigidezza delle camere sono rispettivamente circa 12,120 N/m e 10,809 N/m:

k_p = 12120 + 10809 = 22929\ \mathrm{N/m}

Sostituendo la massa efficace di 25 kg:

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{22929}{25}} = 4.82\ \mathrm{Hz}

Cosa accade se la massa efficace raddoppia mentre la rigidezza resta invariata? La frequenza naturale diminuisce in funzione della radice quadrata del rapporto tra le masse, quindi il nuovo valore è circa $f_n=3.41\ \mathrm{Hz}$ . Al contrario, ridurre la massa senza verificare l’eccitazione può spostare una risonanza verso l’alto, fino a un’altra armonica operativa.

Trattare il foglio di calcolo come un modello di sensibilità. Modificare un dato incerto alla volta, inclusi volume morto, $n$ , pressione delle camere, massa mobile e rigidezza strutturale. Una singola risposta precisa può essere meno utile di un intervallo di frequenze giustificabile che evidenzi quale misura conta di più.

Perché la frequenza naturale cambia lungo la corsa?

Per un cilindro senza stelo con volumi morti e pressioni uguali nelle camere, Doll e colleghi identificano la posizione centrale come il punto di minima rigidezza nel loro modello semplificato (Dimensionamento dei cilindri pneumatici per compiti di movimentazione, 2015). Un cilindro a stelo singolo è asimmetrico, ma anche i suoi due volumi di camera cambiano continuamente con la posizione del pistone.

Utilizzando gli stessi dati dell’esempio svolto in 5 posizioni si ottiene questo risultato derivato dal modello:

Posizione dal lato fondello	Rigidezza pneumatica	Frequenza naturale prevista
50 mm	46,051 N/m	6.83 Hz
100 mm	29,974 N/m	5.51 Hz
200 mm	22,929 N/m	4.82 Hz
300 mm	28,267 N/m	5.35 Hz
350 mm	41,863 N/m	6.51 Hz

Il minimo di questo esempio è vicino alla metà corsa perché in quella posizione entrambi i volumi compressi sono relativamente grandi. In prossimità di un’estremità, una camera diventa piccola e il suo contributo alla rigidezza cresce rapidamente. Le pressioni reali possono essere diverse e volumi morti disuguali possono spostare il minimo.

Cilindro senza stelo ad accoppiamento meccanico usato per illustrare massa del carrello, volume delle camere su corsa lunga ed effetti delle guide

Un cilindro senza stelo non ha automaticamente una frequenza naturale più elevata. L’eliminazione dello stelo può ridurre la massa mobile, ma una corsa lunga aumenta il volume delle camere, mentre carrello, guida, nastro di tenuta, accoppiamento magnetico, disassamento del carico e luce di montaggio possono introdurre cedevolezza o modi aggiuntivi. Confrontare l’intero gruppo mobile nello stesso stato operativo.

Per questo motivo un problema misurato può comparire soltanto in una parte della corsa. Ripetere calcolo e prova nelle posizioni operative importanti, tra cui partenza sotto carico, metà corsa, posizione di processo e avvicinamento a fine corsa. Per gli effetti dell’installazione, consultare la guida al montaggio e all’allineamento degli attuatori e la guida al montaggio dei cilindri senza stelo.

La risonanza dipende da smorzamento ed eccitazione

Con un rapporto di frequenza $r=1$ , un modello lineare a un grado di libertà fornisce un’amplificazione dello spostamento pari a 10 quando $\zeta=0.05$ , ma soltanto 2,5 quando $\zeta=0.20$ . Il calcolo segue l’equazione standard della risposta forzata riportata di seguito. Mostra perché nessuna affermazione fissa del tipo «da 10 a 50 volte» può descrivere ogni macchina pneumatica.

Il rapporto di frequenza è la frequenza di eccitazione divisa per la frequenza naturale. Si definisce come:

r = \frac{f_{\mathrm{exc}}}{f_n}

$f_{\mathrm{exc}}$ è la frequenza di eccitazione e $f_n$ è la frequenza naturale calcolata. Per un sistema lineare a singolo modo sottoposto a forza armonica, l’amplificazione dello spostamento è:

M(r) = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}

$M$ è il rapporto tra l’ampiezza dello spostamento a regime e il corrispondente spostamento statico. Per $r=1$ , si semplifica in $M=1/(2\zeta)$ . Uno smorzamento ridotto crea un picco più marcato; uno smorzamento maggiore lo abbassa e lo allarga. La formula non è valida per arresti rigidi, urti dovuti a giochi, attrito fortemente non lineare delle tenute, saturazione della valvola o più modi accoppiati.

Che cosa costituisce un’eccitazione? Verificare frequenza del ciclo comandato, armoniche del profilo di movimento, commutazione delle valvole, macchine rotanti vicine, passaggio dei denti o delle tasche del trasportatore, pulsazioni del compressore e urti ripetuti a fine corsa. Un ciclo macchina di un secondo ha una fondamentale di 1 Hz, ma la sua forma d’onda di accelerazione può contenere armoniche molto più alte.

Non classificare ogni picco di vibrazione come risonanza pneumatica. Se una variazione della pressione nelle camere sposta il picco, è probabile che sia coinvolta la rigidezza pneumatica. Se il picco resta quasi invariato mentre è influenzato da modifiche al montaggio o al carico utile, può dominare un modo strutturale. Se l’oscillazione dipende fortemente da guadagno, banda morta o campionamento del controllore, esaminare l’anello di controllo.

Come verificare il calcolo sulla macchina?

Uno studio su un cilindro a doppio effetto ha campionato pressione e spostamento ogni 0,1 ms e ripetuto ciascuna condizione 45 volte per caratterizzare il comportamento dinamico (Studio sperimentale di un cilindro pneumatico a doppio effetto, 2020). Una verifica in fabbrica non deve necessariamente replicare tale protocollo di laboratorio, ma deve sincronizzare i segnali di movimento, pressione e vibrazione.

Seguire questa sequenza:

Definire lo stato. Registrare posizione del pistone, carico utile, orientamento, pressioni di entrambe le camere, comando valvola, impostazione del regolatore, impostazioni dei regolatori di flusso, dimensioni dei tubi, condizioni delle guide e configurazione di montaggio.
Eseguire la prova in sicurezza. Tenere il personale fuori dalla zona di movimento, ridurre l’energia ove possibile e non attraversare una risonanza sospetta alla piena forza di produzione senza un piano di prova approvato.
Misurare i segnali corretti. Collocare un accelerometro sul carrello mobile o sul carico e, se possibile, un altro sul telaio. Aggiungere entrambe le pressioni delle camere e posizione o velocità.
Eccitare con cautela. Utilizzare una scansione comandata a bassa ampiezza, un gradino controllato o una prova d’urto documentata e adatta alla macchina. Gli urti contro le testate non sostituiscono un metodo di eccitazione sicuro.
Individuare picchi ripetibili. Confrontare spettri, fase, frequenza di decadimento dell’oscillazione e andamento pressione-posizione in prove ripetute.
Modificare un parametro. Ripetere con una variazione nota di massa, pressione o posizione. Un modello valido deve prevedere la direzione dello spostamento della frequenza.

Secondo la nostra esperienza, il miglioramento diagnostico più rapido deriva dal registrare le pressioni di entrambe le camere invece di affidarsi al manometro del regolatore. Il regolatore indica l’impostazione dell’alimentazione. Non dimostra la pressione intrappolata, la contropressione allo scarico o la pressione dinamica nel cilindro quando si verifica la vibrazione.

Lo studio del 2005 sull’identificazione di un servosistema pneumatico ha misurato la frequenza naturale in funzione della posizione del pistone e ha utilizzato tale curva per orientare la progettazione del controllore (Noskievi, Identificazione del servosistema pneumatico mediante oscillazioni autoeccitate, 2005). È un utile promemoria: per il posizionamento controllato, la mappa delle frequenze può essere più importante di un singolo valore a metà corsa.

La norma ISO 20816-1:2016 fornisce condizioni e procedure generali per misurare e valutare le vibrazioni su macchine complete. Può orientare un programma di monitoraggio delle vibrazioni in stabilimento, ma non fornisce un limite universale di risonanza per i cilindri pneumatici né sostituisce il modello di frequenza e i criteri di accettazione specifici dell’applicazione.

Cosa modificare quando le frequenze sono troppo vicine?

Nel modello a camere chiuse, raddoppiare la massa mobile mantenendo costante la rigidezza riduce la frequenza naturale a circa il 70,7% del valore originale. Doll e colleghi mostrano analogamente che mantenere la stessa frequenza propria dopo aver raddoppiato la massa richiede una corrispondente variazione di dimensionamento legata alla rigidezza (Dimensionamento dei cilindri pneumatici per compiti di movimentazione, 2015).

Scegliere una correzione che intervenga sul meccanismo identificato:

Spostare l’eccitazione. Modificare temporizzazione del ciclo, rampe di accelerazione, tempi di pausa, commutazione delle valvole o velocità delle macchine rotanti vicine, affinché le armoniche dominanti non eccitino ripetutamente il modo.
Modificare deliberatamente la massa mobile. Ridurre la massa aumenta la frequenza naturale se la rigidezza resta costante; aggiungerla la riduce. Entrambe le direzioni possono aiutare o peggiorare il problema, quindi ricalcolare l’intero intervallo operativo.
Modificare la rigidezza pneumatica. Pressione nelle camere, area del pistone, volume intrappolato, volume morto e stato della valvola influenzano la rigidezza. Aumentare la pressione può incrementarla, ma modifica anche forza disponibile ed energia immagazzinata. Non trattare mai la pressione come una semplice regolazione senza verificare i valori nominali dei componenti e il rischio macchina.
Correggere il percorso del carico. Irrigidire una staffa flessibile, accorciare una luce non supportata, eliminare impuntamenti o aggiungere una guida adeguata quando il modo misurato è strutturale. I bulloni di fissaggio non devono trascinare in posizione componenti disallineati.
Aggiungere smorzamento dove l’energia può essere dissipata in sicurezza. Smorzatore, deceleratore, ammortizzazione o strategia di controllo devono essere adatti al modo. L’urto a fine corsa richiede una verifica dell’energia di ammortizzazione, non una formula di risonanza a metà corsa.
Ritarare il controllore dopo aver identificato l’impianto. Guadagno inferiore, comandi filtrati, filtri notch o gain scheduling possono aiutare un asse servopneumatico, ma il software non deve mascherare fissaggi allentati, una guida sottodimensionata o un problema d’urto.

Non esiste una percentuale universale di separazione sicura per ogni macchina pneumatica. Definire intervalli di velocità, carico, posizioni della corsa e pressione, oltre ai disturbi plausibili, quindi verificare che la risposta misurata resti accettabile in tutto l’inviluppo. Documentare le impostazioni finali affinché la manutenzione possa riconoscere successivamente eventuali derive.

Domande frequenti sul calcolo della frequenza naturale

Queste 5 domande distinguono l’equazione preliminare dalla macchina assemblata. Il modello utilizza 2 pressioni di camera, 2 aree efficaci, 2 volumi di camera, una massa efficace e uno stato dichiarato della valvola (Doll et al., 2015). L’assenza di uno qualsiasi di questi dati può modificare il modo previsto.

La frequenza di ciclo coincide con la frequenza naturale?

No. La frequenza di ciclo è una frequenza operativa comandata, mentre la frequenza naturale è una proprietà del sistema massa-rigidezza attorno a uno stato definito. Un ciclo da 1 Hz può comunque contenere armoniche di accelerazione e urti a frequenze superiori. Confrontare il contenuto di eccitazione misurato con i modi calcolati e misurati, anziché confrontare soltanto la frequenza di ciclo.

Nell’equazione della rigidezza si deve usare la pressione manometrica o assoluta?

Usare la pressione assoluta della camera. La rigidezza del gas dipende dallo stato pressione-volume dell’aria intrappolata, quindi la pressione manometrica omette quella atmosferica. Quando possibile, misurare entrambe le camere nella condizione operativa. L’impostazione del regolatore non sostituisce le pressioni effettive lato fondello e lato stelo, soprattutto con valvole, tubi e restrizioni allo scarico attivi.

Un cilindro senza stelo ha sempre una frequenza naturale più elevata?

No. Un cilindro senza stelo può ridurre la massa dello stelo in movimento, ma la frequenza naturale dipende anche dalla massa di carrello e carico utile, dai volumi di entrambe le camere, dalla pressione, dalla rigidezza di guide e fissaggi, dal comportamento dell’accoppiamento e dalla posizione lungo la corsa. Le corse lunghe possono aumentare il volume intrappolato e introdurre modi strutturali; confrontare quindi gruppi completi nelle stesse condizioni al contorno.

Quando occorre ripetere il calcolo?

Ripeterlo dopo variazioni di carico utile, attrezzatura, posizione del pistone, pressione operativa, lunghezza dei tubi rigidi o flessibili, stato della valvola, montaggio, rigidezza delle guide, impostazioni di controllo o profilo di movimento. Ricalcolare anche quando la pressione misurata differisce dall’ipotesi iniziale. Il risultato utile è un intervallo di frequenze nelle condizioni operative plausibili, non un singolo valore permanente.

Modificare la velocità del cilindro può eliminare la risonanza?

Può allontanare l’eccitazione da un modo, ma la velocità è soltanto uno dei fattori. Un nuovo profilo di movimento può introdurre armoniche diverse e avvicinamenti più rapidi a fine corsa aumentano l’energia d’urto. Misurare la risposta dopo la modifica della velocità, quindi confermare ammortizzazione, portata della valvola, tempo di ciclo, stabilità del controllo e intero inviluppo operativo prima del rilascio.

Fonti e riferimenti tecnici

Le fonti tecniche sono collegate nel punto in cui vengono discussi ciascuna ipotesi del modello, equazione, metodo sperimentale o risultato derivato.

Le informazioni sull’autore e sull’azienda sono disponibili nella pagina Chi siamo. I lettori possono inviare domande tecniche o correzioni delle fonti tramite la pagina Contatti.

Come calcolare la frequenza naturale per prevenire costosi guasti da risonanza nel sistema pneumatico?

Jack Chen