Расчёт собственной частоты пневмосистемы для предотвращения

Собственная частота пневматического цилиндра — это частота свободных колебаний цилиндра, перемещаемой нагрузки и связанной с ними конструкции вблизи заданного рабочего состояния. Для первичной расчетной оценки определите эффективные площади и объемы обеих полостей при заданном положении поршня, используйте абсолютное давление в полостях, рассчитайте суммарную пневматическую жесткость, а затем примените формулу собственной частоты системы «масса — пружина».

Полученный результат не является универсальной паспортной характеристикой цилиндра. Состояние клапана, объем трубок, податливость креплений, трение, собственные формы конструкции, поведение контура управления, изменение нагрузки и положение поршня — все это может смещать измеряемый отклик. Расчет наиболее полезен, когда его допущения зафиксированы, а прогноз проверен на собранной машине.

Ключевые выводы

При перекрытых полостях цилиндр двустороннего действия ведет себя как 2 пневматические пружины.

В расчет следует подставлять абсолютное давление, а объем каждой полости должен включать мертвый объем.

В рассмотренном примере расчетная частота изменяется от 4.82 Hz в середине хода до 6.83 Hz вблизи одного из крайних положений.

От демпфирования и частоты возбуждения зависит, перерастет ли колебание на собственной частоте в разрушительный резонанс.

Перед любым динамическим расчетом необходимо проверить статическую нагрузку — порядок действий приведен в нашем руководстве по формуле усилия цилиндра. Если машина ударяет по торцевой крышке, а не колеблется около некоторого положения, воспользуйтесь вместо этого руководством по демпфированию пневматического цилиндра.

Начните с правильной пневматической модели

Долль, Нойман и Саводни моделируют пневматический цилиндр как 1 движущуюся массу, соединенную с воздушной пружиной; обе полости при этом перекрыты, поэтому масса сжатого воздуха в каждой из них остается постоянной (Расчет размеров пневматических цилиндров для задач перемещения, 2015). Эти граничные условия определяют используемый здесь предварительный расчет.

Пневматический цилиндр на стяжных шпильках по ISO 15552, иллюстрирующий конфигурацию штокового цилиндра двустороннего действия

Реальный распределительный клапан изменяет модель. Если клапан соединяет одну полость с линией питания, а другую — с выхлопом, масса воздуха в полостях перестает быть постоянной. Сервоклапан и контроллер могут создавать дополнительную эффективную жесткость и демпфирование, а длинная трубка или ресивер увеличивают объем и добавляют динамику потока. Прежде чем указывать частоту, зафиксируйте состояние клапана.

Простейшая практически полезная модель включает следующие элементы:

давление, площадь и полный объем полости 1;
давление, площадь и полный объем полости 2;
поршень, шток или каретка, полезная нагрузка и прочие механически перемещающиеся массы;
демпфирование за счет трения, уплотнений, направляющих, проточных каналов и присоединенных конструкций;
любую механическую жесткость, которая действительно действует параллельно пневматической жесткости.

Предварительная модель цилиндра двустороннего действия, удерживаемого вблизи заданного рабочего положения. В приведенной ниже формуле две перекрытые полости рассматриваются как пневматические пружины; у собранной машины могут быть дополнительные собственные формы.

Не объединяйте жесткость всех соседних компонентов в одно число. Например, изгибающийся кронштейн, последовательно соединенный с цилиндром, снижает суммарную жесткость. Параллельная возвратная пружина, напротив, ее увеличивает. Податливая рама может создавать отдельную форму колебаний, для которой потребуется модель с несколькими степенями свободы или конечно-элементный анализ.

Первый полезный вопрос звучит не так: «Какова собственная частота этого цилиндра?», а так: «Для какого физического состояния и какой формы колебаний мы выполняем расчет?» Цилиндр в середине хода с перекрытыми портами представляет собой иную динамическую систему, чем тот же цилиндр, движущийся при дросселировании потока клапаном.

Как рассчитать площади и объемы полостей?

В экспериментальной модели цилиндра двустороннего действия используются 2 эффективные площади поршня, а объем каждой полости определяется как сумма неактивного торцевого объема и зависящего от положения рабочего объема (Экспериментальное исследование пневматического цилиндра двустороннего действия, 2020). Такой подход предотвращает распространенную ошибку — использование полной площади поршня и объема полного хода с обеих сторон.

Для цилиндра с односторонним штоком, диаметром поршня $D$ и диаметром штока $d$ :

A_1 = \frac{\pi D^2}{4}

A_2 = A_1 - \frac{\pi d^2}{4}

$A_1$ — эффективная площадь со стороны бесштоковой полости, а $A_2$ — кольцевая площадь со стороны штоковой полости; обе величины выражаются в квадратных метрах, если диаметры заданы в метрах. Для бесштокового цилиндра равенство эффективных площадей допустимо только тогда, когда это соответствует его внутренней конструкции.

При положении поршня $x$ , отсчитываемом от бесштокового торца, объемы полостей равны:

V_1 = V_{d1} + A_1 x

V_2 = V_{d2} + A_2(L-x)

$L$ — полный ход в метрах. $V_{d1}$ и $V_{d2}$ — неактивные объемы с каждой стороны, включая полости в торцевых крышках, порты, фитинги, каналы датчиков и объем всех присоединенных трубок, который остается частью замкнутого газового объема. Все объемы задавайте в кубических метрах.

Объем трубок легко недооценить. Удаленно установленный клапан или длинный шланг увеличивает объем сжатого воздуха, не увеличивая площадь поршня, и тем самым снижает пневматическую жесткость. Калькулятор объема пневматической трубки поможет определить этот исходный параметр, но собственную частоту он не рассчитывает.

В уравнении жесткости используйте абсолютное давление. Чтобы преобразовать показание манометра, прибавьте местное атмосферное давление в согласованных единицах. Номинальное давление питания 6 bar избыточного давления вблизи уровня моря приблизительно соответствует 7 bar абсолютного давления, однако фактическое давление в полостях при удержании или движении может отличаться от настройки регулятора.

Как рассчитать пневматическую жесткость и собственную частоту?

Анализ цилиндра двустороннего действия, выполненный Чмерком, показывает, что пассивная жесткость изменяется по ходу, а влияние мертвых объемов особенно важно вблизи крайних положений (Повышение жесткости пневматического цилиндра двустороннего действия, 2015). Пневматическая жесткость — это приращение восстанавливающей силы на единицу перемещения поршня вблизи заданного состояния. Линеаризация обеих перекрытых полостей дает следующую модель.

k_p = nP_1\frac{A_1^2}{V_1} + nP_2\frac{A_2^2}{V_2}

$k_p$ — пневматическая жесткость в ньютонах на метр. $P_1$ и $P_2$ — абсолютные давления в полостях в паскалях. $A_1$ и $A_2$ — эффективные площади в квадратных метрах. $V_1$ и $V_2$ — полные объемы сжатого воздуха в кубических метрах. Безразмерный показатель политропы $n$ описывает теплообмен при малом изменении давления и объема.

Для идеализированного поведения газа $n=1$ соответствует изотермическому процессу, а $n=1.4$ — адиабатическому; промежуточные условия лежат между ними (Моделирование динамической жесткости воздушной пружины нейронной сетью на основе ее пневматической физики, 2026). В этом источнике исследуются воздушные пружины, поэтому указанный диапазон следует использовать как ориентир для газового процесса, а не как универсальное испытательное значение для цилиндра. Если подтвержденного значения нет, выполните анализ чувствительности, а не скрывайте это допущение.

Если механическая пружина действует параллельно, ее жесткость можно прибавить к $k_p$ . Не складывайте безусловно жесткость рамы, кронштейна, муфты или направляющей: путь передачи нагрузки должен подтверждать их параллельное действие. Правильно объединенный результат обозначим как $k_{\mathrm{total}}$ .

Собственная частота без учета демпфирования равна:

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{total}}}{m_{\mathrm{eff}}}}

$f_n$ выражается в герцах, $k_{\mathrm{total}}$ — в ньютонах на метр, а $m_{\mathrm{eff}}$ — в килограммах. Приведенная масса обычно включает полезную нагрузку, поршень со штоком или каретку, оснастку и соответствующую движущуюся долю гибких звеньев. Не прибавляйте массу сжатого воздуха так, словно он жестко перемещается вместе с нагрузкой.

Для одномодовой системы со слабым демпфированием частота свободных затухающих колебаний равна:

f_d = f_n\sqrt{1-\zeta^2}

$\zeta$ — коэффициент демпфирования. Это соотношение полезно только тогда, когда одна форма колебаний доминирует, а демпфирование можно приближенно представить вязким. Трение в уплотнениях и скачкообразное движение при трении покоя нелинейны, поэтому поведение на малой скорости может не соответствовать этой модели.

Пример расчета: цилиндр диаметром 63 mm в середине хода

Согласно приведенным выше двухкамерным уравнениям, для цилиндра диаметром 63 mm, со штоком 20 mm, ходом 400 mm, приведенной массой 25 kg, мертвым объемом 50 cm³ с каждой стороны, абсолютным давлением 7 bar в обеих полостях и $n=1.2$ расчетная собственная частота в середине хода составляет 4.82 Hz. Это результат моделирования, а не паспортная характеристика.

Предположим, что поршень находится в положении $x=0.200\ \mathrm{m}$ , а дополнительной механической жесткостью в этом первом приближении пренебрежем.

Исходный параметр	Значение
Диаметр поршня, $D$	0.063 m
Диаметр штока, $d$	0.020 m
Ход, $L$	0.400 m
Положение, $x$	0.200 m
Мертвый объем каждой полости	0.000050 m³
Абсолютное давление в каждой полости	700,000 Pa
Показатель политропы, $n$	1.2
Приведенная движущаяся масса, $m_{\mathrm{eff}}$	25 kg

Расчетные площади равны $A_1=0.003117\ \mathrm{m^2}$ и $A_2=0.002803\ \mathrm{m^2}$ . Полные объемы полостей в середине хода составляют $V_1=0.000673\ \mathrm{m^3}$ и $V_2=0.000611\ \mathrm{m^3}$ .

Вклады двух полостей в жесткость составляют приблизительно 12,120 N/m и 10,809 N/m:

k_p = 12120 + 10809 = 22929\ \mathrm{N/m}

Подставим приведенную массу 25 kg:

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{22929}{25}} = 4.82\ \mathrm{Hz}

Что произойдет, если приведенная масса удвоится, а жесткость останется неизменной? Собственная частота уменьшится пропорционально квадратному корню из отношения масс, поэтому новое значение составит приблизительно $f_n=3.41\ \mathrm{Hz}$ . И наоборот, уменьшение массы без проверки спектра возбуждения может сдвинуть резонанс вверх, к другой рабочей гармонике.

Рассматривайте электронную таблицу как модель чувствительности. Поочередно изменяйте каждый неопределенный исходный параметр: мертвый объем, $n$ , давление в полостях, движущуюся массу и жесткость конструкции. Одно аккуратное число может оказаться менее полезным, чем обоснованный диапазон частот, показывающий, какое измерение влияет на результат сильнее всего.

Почему собственная частота изменяется по ходу?

Для бесштокового цилиндра с одинаковыми мертвыми объемами и одинаковым давлением в полостях Долль и его коллеги определяют среднее положение как точку минимальной жесткости в своей упрощенной модели (Расчет размеров пневматических цилиндров для задач перемещения, 2015). Цилиндр с односторонним штоком асимметричен, однако объемы обеих его полостей также непрерывно изменяются с положением поршня.

При тех же исходных данных расчет в 5 положениях дает следующий модельный результат:

Положение от бесштокового торца	Пневматическая жесткость	Расчетная собственная частота
50 mm	46,051 N/m	6.83 Hz
100 mm	29,974 N/m	5.51 Hz
200 mm	22,929 N/m	4.82 Hz
300 mm	28,267 N/m	5.35 Hz
350 mm	41,863 N/m	6.51 Hz

В данном примере минимум расположен вблизи середины хода, поскольку оба объема сжатого воздуха там сравнительно велики. Рядом с крайним положением одна полость становится малой, и ее вклад в жесткость резко возрастает. Реальные давления могут отличаться, а неодинаковые мертвые объемы способны сместить минимум.

Бесштоковый цилиндр с механической связью, иллюстрирующий массу каретки, объем полостей при большом ходе и влияние направляющих

Бесштоковый цилиндр не обязательно имеет более высокую собственную частоту. Отсутствие штока может уменьшить движущуюся массу, однако большой ход увеличивает объем полостей, а каретка, направляющая, уплотнительная лента, магнитная муфта, смещение нагрузки и расстояние между креплениями могут вносить податливость или создавать дополнительные формы колебаний. Сравнивайте всю подвижную систему в одинаковом рабочем состоянии.

По этой же причине измеряемая проблема иногда проявляется только на одном участке перемещения. Повторите расчет и испытание в важных рабочих положениях, включая старт под нагрузкой, середину хода, технологическое положение и подход к концу хода. Для оценки влияния установки воспользуйтесь руководством по монтажу и соосности привода и руководством по монтажу бесштокового цилиндра.

Резонанс зависит от демпфирования и возбуждения

При отношении частот $r=1$ линейная модель с одной степенью свободы дает коэффициент увеличения перемещения 10 при $\zeta=0.05$ , но только 2.5 при $\zeta=0.20$ . Расчет выполняется по приведенному ниже стандартному уравнению вынужденного отклика. Оно показывает, почему фиксированное утверждение «в 10–50 раз» не может описывать все пневматические машины.

Отношение частот — это частота возбуждения, деленная на собственную частоту. Оно определяется так:

r = \frac{f_{\mathrm{exc}}}{f_n}

$f_{\mathrm{exc}}$ — частота возбуждения, а $f_n$ — расчетная собственная частота. Для линейной одномодовой системы с гармоническим возбуждением коэффициент увеличения перемещения равен:

M(r) = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}

$M$ — отношение установившейся амплитуды перемещения к соответствующему статическому перемещению. При $r=1$ выражение упрощается до $M=1/(2\zeta)$ . При слабом демпфировании пик острее; усиление демпфирования снижает и расширяет его. Формула неприменима для жестких упоров, ударов при выборе зазора, сильно нелинейного трения уплотнений, насыщения клапана и нескольких связанных форм колебаний.

Что следует считать возбуждением? Проверьте заданную частоту циклов, гармоники профиля движения, переключения клапана, расположенное рядом вращающееся оборудование, частоту прохождения зубьев или гнезд конвейера, пульсации компрессора и повторяющиеся удары в конце хода. Основная частота машинного цикла длительностью одну секунду равна 1 Hz, однако форма ускорения может содержать значительно более высокие гармоники.

Не называйте каждый пик вибрации пневматическим резонансом. Если при изменении давления в полостях пик смещается, вероятно, существенную роль играет пневматическая жесткость. Если пик почти не меняется, но на него влияют крепление или полезная нагрузка, доминировать может собственная форма конструкции. Если колебания сильно зависят от коэффициента усиления контроллера, зоны нечувствительности или частоты дискретизации, исследуйте контур управления.

Как проверить расчет на машине?

В одном исследовании цилиндра двустороннего действия давление и перемещение регистрировали каждые 0.1 ms, а каждое условие повторяли 45 раз для характеристики динамического поведения (Экспериментальное исследование пневматического цилиндра двустороннего действия, 2020). Заводская проверка не обязана повторять этот лабораторный протокол, но сигналы движения, давления и вибрации должны быть синхронизированы.

Используйте следующую последовательность:

Определите состояние. Запишите положение поршня, полезную нагрузку, ориентацию, давление в обеих полостях, команду клапану, настройку регулятора, настройки расхода, размеры трубок, состояние направляющих и конфигурацию крепления.
Обеспечьте безопасность испытания. Исключите присутствие людей в зоне движения, по возможности снизьте энергию и не проходите предполагаемый резонанс с полным рабочим усилием без утвержденного плана испытаний.
Измеряйте нужные сигналы. Установите акселерометр на движущейся каретке или нагрузке и, если возможно, второй — на раме. Добавьте измерение давления в обеих полостях и положения или скорости.
Возбуждайте систему осторожно. Используйте задаваемое воздействие малой амплитуды с плавным изменением частоты, управляемую ступеньку или документированное ударное испытание, подходящее для данной машины. Удары о торцевые крышки не заменяют безопасный метод возбуждения.
Найдите повторяемые пики. Сравните спектры, фазу, частоту затухающих колебаний и связь давления с положением в нескольких повторных испытаниях.
Изменяйте по одному параметру. Повторите испытание при известном изменении массы, давления или положения. Корректная модель должна предсказывать направление смещения частоты.

По нашему опыту, быстрее всего диагностику улучшает регистрация давления в обеих полостях вместо опоры только на манометр регулятора. Регулятор показывает настройку линии питания. Он не подтверждает давление запертого воздуха, противодавление на выхлопе или динамическое давление непосредственно у цилиндра в момент возникновения вибрации.

В исследовании 2005 года по идентификации пневматической сервосистемы собственную частоту измеряли как функцию положения поршня и использовали полученную кривую при проектировании контроллера (Носкеви, Идентификация пневматической сервосистемы с помощью автоколебаний, 2005). Это полезное напоминание: для управляемого позиционирования карта частот может быть важнее одного значения в середине хода.

ISO 20816-1:2016 устанавливает общие условия и процедуры измерения и оценки вибрации машин в сборе. Стандарт может использоваться при разработке заводской программы вибрационного контроля, но он не задает универсальный предел резонанса пневматического цилиндра и не заменяет модель частот и критерии приемки для конкретного применения.

Что изменить, если частоты расположены слишком близко?

В модели с перекрытыми полостями удвоение движущейся массы при постоянной жесткости снижает собственную частоту примерно до 70.7% исходного значения. Долль и его коллеги также показывают, что для сохранения той же собственной частоты после удвоения массы требуется соответствующее изменение размеров, влияющее на жесткость (Расчет размеров пневматических цилиндров для задач перемещения, 2015).

Выберите корректирующее действие, направленное на выявленный механизм:

Сместите возбуждение. Измените время цикла, участки разгона, длительность выдержки, моменты переключения клапана или скорость расположенного рядом вращающегося оборудования, чтобы доминирующие гармоники не возбуждали эту форму повторно.
Целенаправленно измените движущуюся массу. При постоянной жесткости уменьшение массы повышает собственную частоту, а увеличение — снижает. Любое из направлений может помочь или навредить, поэтому повторно рассчитайте весь рабочий диапазон.
Измените пневматическую жесткость. На нее влияют давление в полостях, площадь поршня, объем запертого воздуха, мертвый объем и состояние клапана. Повышение давления может увеличить жесткость, но одновременно изменяет располагаемое усилие и запасенную энергию. Никогда не используйте давление как простой параметр настройки без проверки допустимых характеристик компонентов и рисков для машины.
Исправьте путь передачи нагрузки. Если измеренная форма имеет конструкционную природу, усильте гибкий кронштейн, сократите неподдерживаемый пролет, устраните заклинивание или добавьте подходящую направляющую. Нельзя стягивать несоосные детали в нужное положение монтажными болтами.
Добавьте демпфирование там, где энергия может рассеиваться безопасно. Демпфер, амортизатор, система торможения или стратегия управления должны соответствовать конкретной форме колебаний. Удар в конце хода следует рассматривать в рамках анализа энергии демпфирования, а не формулы резонанса в середине хода.
После идентификации объекта перенастройте контроллер. Снижение коэффициента усиления, фильтрация команд, режекторные фильтры или изменение усиления по режимам могут помочь сервопневматической оси, но программное обеспечение не должно скрывать ослабленные крепления, недостаточно жесткую направляющую или ударную нагрузку.

Универсального безопасного процентного разноса частот для всех пневматических машин не существует. Определите диапазон рабочих скоростей, нагрузок, положений по ходу и давления, а также вероятные возмущения, после чего убедитесь, что измеряемый отклик остается приемлемым во всей этой области. Зафиксируйте итоговые настройки, чтобы техническое обслуживание могло впоследствии распознать их отклонение.

Частые вопросы о расчете собственной частоты

Эти 5 вопросов помогают отделить предварительное расчетное уравнение от реальной машины в сборе. В модели используются 2 давления в полостях, 2 эффективные площади, 2 объема полостей, одна приведенная масса и заданное состояние клапана (Долль и др., 2015). Отсутствие любого из этих исходных параметров может изменить прогнозируемую форму колебаний.

Частота циклов — это то же самое, что собственная частота?

Нет. Частота циклов — это заданная рабочая частота, тогда как собственная частота является свойством системы «масса — жесткость» вблизи определенного состояния. Даже цикл с частотой 1 Hz может содержать более высокочастотные гармоники ускорения и удары. Сравнивайте измеренный спектр возбуждения с расчетными и измеренными собственными формами, а не только частоту циклов.

Какое давление использовать в уравнении жесткости: избыточное или абсолютное?

Используйте абсолютное давление в полостях. Жесткость газа определяется состоянием «давление — объем» запертого воздуха, поэтому избыточное давление не учитывает атмосферное. По возможности измеряйте обе полости в рабочем режиме. Настройка регулятора не заменяет фактическое давление в бесштоковой и штоковой полостях, особенно при работе клапанов, трубок и ограничений на выхлопе.

Всегда ли у бесштокового цилиндра собственная частота выше?

Нет. Бесштоковая конструкция может уменьшить массу движущегося штока, однако собственная частота также зависит от массы каретки и полезной нагрузки, объемов обеих полостей, давления, жесткости направляющих и креплений, поведения муфты и положения по ходу. Большой ход может увеличить объем запертого воздуха и добавить собственные формы конструкции, поэтому сравнивайте узлы в сборе при одинаковых граничных условиях.

Когда необходимо повторять расчет?

Повторяйте расчет после изменения полезной нагрузки, оснастки, положения поршня, рабочего давления, длины трубки или шланга, состояния клапана, крепления, жесткости направляющих, настроек управления или профиля движения. Пересчет также необходим, если измеренное давление отличается от исходного допущения. Полезный результат — диапазон частот для вероятных рабочих случаев, а не одно неизменное число.

Можно ли устранить резонанс, изменив скорость цилиндра?

Изменение скорости может увести возбуждение от собственной формы, но скорость — лишь один из параметров. Новый профиль движения может создать другие гармоники, а более быстрый подход к концу хода повышает энергию удара. После изменения скорости измерьте отклик, затем перед вводом в эксплуатацию проверьте демпфирование, расход через клапан, время цикла, устойчивость управления и весь рабочий диапазон.

Источники и техническая литература

Ссылки на технические источники приведены непосредственно в тех местах, где рассматриваются соответствующие допущения модели, уравнения, экспериментальные методы или расчетные результаты.

Сведения об авторе и компании доступны на странице «О нас». Читатели могут отправить технические вопросы или исправления к источникам через страницу «Контакты».

Как рассчитать собственную частоту и предотвратить резонансные отказы пневмосистемы?

Jack Chen