Моделирование коэффициента сжимаемости в сервопневматических

Q: Является ли коэффициент сжимаемости Z тем же самым, что и пневматическая жёсткость?

Нет. Z корректирует уравнение реального газа с учётом неидеального поведения. Пневматическая жёсткость — это локальная зависимость силы от перемещения, выведенная из давления в камере, эффективной площади поршня, запертого объёма и предполагаемого теплового процесса. Контроллер может использовать оба понятия, но замена одного другим приводит к неверным единицам и физической интерпретации.

Моделирование сжимаемости в сервопневматике не рассматривает «сжимаемость» как одну настраиваемую константу. Оно разделяет уравнение состояния газа, предположение о тепловом процессе, два изменяющихся объёма камер, массовый расход через клапан, силу поршня, трение и движущуюся массу. В результате получается нелинейный объект, который можно идентифицировать и проверить до того, как контроллеру начнут доверять.

Это различие важно, поскольку сервопневматическая система позиционирования содержит как минимум три функциональных элемента: привод с обратной связью по перемещению, пропорциональный распределительный клапан и контроллер положения (Festo, доступ 2026-07-23). Одна формула цилиндра не может предсказать поведение полного контура.

Основные выводы

Моделируйте как минимум четыре основных состояния: положение, скорость и два абсолютных давления в камерах.

Используйте данные ISO 6358 или измеренные карты клапана, а не размер порта как модель расхода.

Выполняйте линеаризацию в заданных рабочих точках, затем совместно проверяйте давление и движение до планирования коэффициентов регулятора.

Что на самом деле означает коэффициент сжимаемости?

NIST определяет безразмерный коэффициент сжимаемости $Z$ как поправку на неидеальность воздуха в уравнении реального газа, а не как жёсткость цилиндра или коэффициент регулятора (NIST, доступ 2026-07-23). Поэтому в сервопневматической модели необходимо разделять три величины: $Z$ , показатель процесса и механическую жёсткость воздушной пружины.

Для массовой модели реального газа запишите:

pV = ZmRT

Единицы измерения и опорные состояния имеют значение.

Здесь $p$ — абсолютное давление в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $m$ — масса воздуха в килограммах, $R$ — удельная газовая постоянная воздуха, а $T$ — абсолютная температура в кельвинах. При $Z = 1$ получается приближение идеального газа. Достаточность этого приближения зависит от требуемой точности модели, диапазонов давления, температуры и влажности. Коэффициент сжимаемости — описанная выше поправка для реального газа. Показатель политропы представляет предполагаемый тепловой путь при сжатии или расширении. Это другой вопрос:

pV^n = C

Показатель $n$ описывает предполагаемое поведение теплообмена в моделируемом событии, а $C$ является постоянной для этого идеализированного процесса. Его нельзя взаимозаменяемо использовать вместо $Z$ . Быстрое движение может приближаться к адиабатическому процессу, а медленное событие при значительном теплообмене — к изотермическому. Выбранное значение необходимо задокументировать и сопоставить с измеренным давлением.

Пневматическая жёсткость — это локальный результат зависимости силы от перемещения. Для двух замкнутых камер полезно приближение для малых сигналов:

k_{\mathrm{air}} = \frac{n p_1 A_1^2}{V_1} + \frac{n p_2 A_2^2}{V_2}

Давления в камерах $p_1$ и $p_2$ должны быть абсолютными. Площади $A_1$ и $A_2$ — эффективные площади поршня, а объёмы $V_1$ и $V_2$ включают порты, фитинги, трубки и полости со стороны клапана, запертые соответствующим состоянием клапана. Это уравнение описывает одну рабочую точку, а не полную динамику движущейся оси. Физический смысл этого члена жёсткости и его изменение по ходу описаны отдельно в руководстве по влиянию сжимаемости воздуха на управление цилиндром. Эта статья начинается там, где заканчивается то объяснение: с построения модели управления, способной предсказывать измеренные давление и движение.

Какова минимальная нелинейная модель объекта?

Richer и Hurmuzlu проверили подробную модель пневматического привода на двух типах цилиндров и нескольких длинах соединительных трубок, учитывая нелинейный расход клапана, сжимаемость камер, утечки, неактивный объём и эффекты пневматической линии (ASME, 2000). Практическая первая модель может быть проще, но в ней нельзя исключать оба давления в камерах.

Оба состояния давления необходимы.

Выберите вектор состояний, который делает запасённую пневматическую энергию явной:

\mathbf{x}_s = [x,\dot{x},p_1,p_2]^\mathsf{T}

Положение — это $x$ , скорость — $\dot{x}$ , а $p_1$ и $p_2$ — абсолютные давления в камерах. Добавляйте положение золотника клапана, состояния линии, температурные состояния или состояния трения только тогда, когда измерения показывают, что четырёхсостоянийная модель не воспроизводит требуемое поведение.

Два объёма камер изменяются в противоположных направлениях:

V_1(x) = V_{10} + A_1 x

V_2(x) = V_{20} + A_2(L-x)

$V_{10}$ и $V_{20}$ — эффективные концевые объёмы в выбранном начале отсчёта положения, включая зазор и присоединённый мёртвый объём. $L$ — полезный ход. Знаки можно выбрать наоборот, но они должны оставаться согласованными в уравнениях объёма, давления, силы и датчика.

В упрощённой политропической модели идеального газа с сосредоточенной температурой каждую камеру можно представить уравнением:

\dot{p}_i = \frac{nRT_i}{V_i}\dot{m}_i - \frac{n p_i}{V_i}\dot{V}_i

$\dot{m}_i$ — алгебраический результирующий массовый расход в камеру $i$ . Это выбор модели, а не универсальный закон для любого переходного процесса. Если теплообмен, утечка или изменение температуры создают неприемлемую остаточную ошибку, энергетическую модель необходимо расширить, а не скрывать несоответствие в коэффициенте регулятора.

Уравнения пневматической силы и движущейся нагрузки имеют вид:

F_p = p_1 A_1 - p_2 A_2

M_{\mathrm{eq}}\ddot{x} = F_p - F_{\mathrm{friction}} - F_{\mathrm{load}} - F_{\mathrm{mechanical}}

$M_{\mathrm{eq}}$ — приведённая движущаяся масса. Остальные члены представляют трение уплотнений и направляющих, приложенную нагрузку, силу тяжести там, где она существенна, и силы механизма. У бесштоковых цилиндров номинальные площади давления могут быть одинаковыми, однако трение каретки, уплотнительные ленты, направляющие и внешняя механика всё равно делают два направления движения различными.

По нашему опыту, порядок модели должен определяться наблюдаемой ошибкой. Начните с четырёх состояний и измеренных карт клапана. Добавляйте состояние только тогда, когда повторяющаяся остаточная ошибка имеет физическое объяснение, например задержку клапана, заполнение линии, тепловое запаздывание или динамическое трение. Более крупная модель с неидентифицированными параметрами может подогнаться под данные ввода в эксплуатацию, но хуже предсказывать новые нагрузки.

Минимальная модель сохраняет причинную цепочку от команды клапана через массовый расход, давление в камере и силу поршня до движения и измеренной обратной связи.

Как представить массовый расход через клапан?

ISO 6358-1 определяет метод испытаний в установившемся режиме для компонентов со сжимаемой рабочей средой и фиксированными или переменными путями потока, но исключает цилиндры, аккумуляторы, регуляторы с внутренней обратной связью и компоненты с неустойчивыми коэффициентами (ISO, подтверждено в 2026 году). Используйте данные стандарта для клапана внутри модели объекта, не рассматривая стандарт как динамическое испытание цилиндра.

Представьте каждую дросселирующую кромку алгебраической функцией:

\dot{m} = f(u,p_u,p_d,T_u)

Команда клапана — $u$ , абсолютное давление до клапана — $p_u$ , абсолютное давление после клапана — $p_d$ , а температура до клапана — $T_u$ . Функция должна различать поток от питания к камере и от камеры к выхлопу, включая критический и докритический режимы. Одно номинальное значение расхода не определяет эту поверхность.

Предпочтительные исходные данные в порядке убывания приоритета:

Измеренная карта «команда–давление–расход» для конкретного клапана и электроники привода.
Кривые производителя с указанными условиями питания, давления после клапана, температуры и команды.
Данные ISO 6358 о звуковой проводимости и критическом отношении давлений для совместимой модели.
Модель коэффициента расхода, геометрия и допущения которой прошли проверку.

Размер порта не является моделью расхода.

Каталожное значение расхода, измеренное при неоговорённом соглашении о давлении, также не является моделью. Если регулятор работает рядом с зоной нечувствительности или насыщением клапана, явно идентифицируйте эти области. В противном случае модель давления может выглядеть корректной, хотя управляющий вход окажется неверным. Трубка между клапаном и цилиндром тоже относится к границе модели. Короткие линии уменьшают управляемый объём, а малый внутренний диаметр может ограничивать массовый расход. В связанном руководстве по выбору пропорциональных клапанов рассматривается подбор оборудования; эта модель должна использовать фактическую характеристику выбранного клапана, а не обобщённую постоянную «сервоклапана».

Линеаризация вокруг заданной рабочей точки

В исследовании сервопневматики 2004 года были разработаны две локальные структуры модели: чёрный ящик и серый ящик с информацией о разности давлений и трении; затем регуляторы с обратной связью по состоянию планировались для разных рабочих областей (Control Engineering Practice, 2004). Вывод состоит не в универсальной формуле усиления: каждая линейная модель относится к указанному равновесию и переменной планирования.

Локальная означает локальная.

Запишите нелинейный объект как $\dot{\mathbf{x}}_s = \mathbf{f}(\mathbf{x}_s,u)$ и выберите рабочую точку $(\bar{\mathbf{x}}_s,\bar{u})$ , удовлетворяющую условиям равновесия. Локальная модель возмущений имеет вид:

\delta\dot{\mathbf{x}}_s = \mathbf{A}\,\delta\mathbf{x}_s + \mathbf{B}\,\delta u

\delta y = \mathbf{C}\,\delta\mathbf{x}_s + \mathbf{D}\,\delta u

Матрицы являются якобианами, вычисленными в выбранной рабочей точке. Для каждого набора записывайте положение поршня, полезную нагрузку, давление питания, давления в камерах, смещение клапана, предположение о температуре и направление движения. Передаточная функция без рабочей точки неполна, поскольку объёмы камер и отношения давлений клапана изменяются при движении оси.

Оценка жёсткости воздуха может помочь интерпретировать одну пару полюсов:

\omega_n \approx \sqrt{\frac{k_{\mathrm{air}}+k_{\mathrm{mechanical}}}{M_{\mathrm{eq}}}}

$\omega_n$ — собственная частота локальной системы без демпфирования в радианах в секунду. Она не является автоматически полосой пропускания замкнутого контура. Динамика клапана, демпфирование, задержка, фильтры обратной связи, насыщение, трение и неучтённая структура могут сместить измеренную характеристику. Используйте отдельное руководство по расчёту собственной частоты, если главным вопросом является резонанс, а не синтез регулятора.

Планирование усиления должно интерполировать проверенные регуляторы, а не масштабировать один пропорциональный коэффициент по объёму камеры. Проверьте каждый запланированный объект и переходы между ними. Положение может быть одной из переменных планирования, но при изменении во время производства столь же важными могут быть полезная нагрузка, давление, направление и рабочая область клапана.

Какие параметры необходимо идентифицировать на машине?

Экспериментальная методика 2017 года показала, что идентификация мёртвого объёма улучшила согласование модели с тремя измеренными выходами: давлением в камере, скоростью поршня и положением поршня (Simulation Modelling Practice and Theory, 2017). Поэтому мёртвый объём является измеряемым параметром, а не удобным значением, которое подстраивают до тех пор, пока один график положения не начнёт выглядеть правильно.

Разделите параметры по способу их получения:

Группа параметров	Исходный источник	Испытание для идентификации	Сигнал валидации
Диаметр, эффективные площади, ход	Чертёж и паспорт	Проверка размеров	Концевые положения и баланс сил
Объёмы камер и присоединённые мёртвые объёмы	CAD и расчёт объёма трубки	Изолированное испытание «давление–объём»	Обе кривые давления в камерах
Поверхность расхода клапана	Данные производителя	Управляемое построение карты «давление–расход»	Рост давления и спад на выхлопе
Зона нечувствительности и задержка клапана	Электроника и паспорт клапана	Малые развертки и ступенчатые команды	Начало роста давления после команды
Движущаяся масса и внешняя нагрузка	Расчёт массы и механизма	Испытание движения с известной нагрузкой	Ускорение и остаток силы
Трение	Исходные данные уплотнений и направляющих	Двунаправленные испытания на малой скорости и страгивание	Остаток «давление–сила» в зависимости от скорости
Утечка	Пределы компонентов	Изолированное испытание на удержание давления	Спад давления при фиксированном объёме
Тепловое поведение	Предполагаемая модель процесса	Повторные медленные и быстрые циклы	Остаток давления в зависимости от выдержки и температуры

Не идентифицируйте все параметры по одной ступени положения. Несколько сочетаний параметров могут создавать похожее движение, одновременно неверно предсказывая давления в камерах. По возможности используйте независимые испытания, а затем отложите отдельный набор данных для валидации. Если одни и те же данные и настраивают, и подтверждают модель, переобучение может остаться незамеченным. Важна и временная база измерений. Синхронно записывайте команду клапана, обратную связь клапана при наличии, давление питания у клапана, оба давления в портах цилиндра, положение, полезную нагрузку и временные метки. Статический манометр регулятора не покажет провал давления при ускорении; это испытание со стороны питания объясняется в руководстве по колебаниям давления воздуха. По одному положению нельзя отличить ограничение расхода от трения страгивания.

Как модель меняет проектирование регулятора?

Festo описывает три обязательных элемента сервопневматической системы позиционирования, а в исследовании планирования усиления 2004 года использовались локальные модели и обратная связь по состоянию, а не универсальный множитель PID (Festo, доступ 2026-07-23; Schulte и Hahn, 2004). Выбор регулятора должен следовать измеренному изменению объекта и доступной обратной связи.

Наблюдаемое поведение объекта	Разумная начальная архитектура	Необходимое подтверждение
Одна рабочая область, слабая нелинейность	Регулятор положения или состояния с фиксированным усилением	Устойчивость и установление при обычных нагрузке и давлении
Повторяемая динамика, зависящая от положения	Регулятор с планированием усиления	Устойчивость каждого локального объекта и при интерполяции
Ошибка слежения определяется известной силой траектории	Модельная прямая связь плюс обратная связь	Обратная карта клапана, обработка насыщения, чувствительность к нагрузке
Динамика давления в камере ограничивает подавление возмущений	Обратная связь по давлению внутри контура движения	Полоса датчика, шум, разделение контуров, поведение при отказе
Значительная неопределённость или изменяющиеся трение/нагрузка	Адаптивная, учитывающая неопределённость или нелинейная стратегия	Ограниченные параметры, обоснование устойчивости, испытания в худшем случае

Прямая связь начинается с баланса сил, а не с прямого уравнения команды клапана. Требуемую силу давления можно оценить так:

F_{p,\mathrm{req}} = M_{\mathrm{eq}}\ddot{x}_{\mathrm{ref}} + F_{\mathrm{load}} + \hat{F}_{\mathrm{friction}}

Затем требуемая пара давлений в камерах должна учитывать давление питания, давление выхлопа, направление силы и пределы давления. Преобразование этих целевых давлений в команду клапана требует обратной модели расхода клапана и состояния камер. Деление силы на разность давлений и площадь не даёт безразмерной команды клапана.

Не копируйте частоту дискретизации с другой машины. Выберите период регулятора по измеренной динамике клапана, давления, датчика, вычислений и механики, сохранив запас на фильтрацию и задержку. Безопасная последовательность ввода в эксплуатацию: консервативные пределы, проверенная полярность сигналов, характеристика разомкнутого контура, по одному замкнутому контуру за раз и наконец полный диапазон нагрузок и питания.

Видео: S2 Positioning — улучшенное позиционирование бесштокового цилиндра. Enfield Technologies демонстрирует внешнюю обратную связь и электронное управление клапаном на оси с бесштоковым цилиндром.

Более широкий обзор оборудования и ввода в эксплуатацию приведён в руководстве по сервопневматическому позиционированию. Его задачу выбора компонентов следует отделять от описанной здесь задачи оценки параметров.

Процесс валидации, выявляющий неверную модель

Проверенная модель ASME сравнивала прогнозы для двух типов цилиндров и разных длин трубок, а не только на наборе данных, использованном для идентификации (Richer и Hurmuzlu, 2000). Ваша приёмочная проверка также должна включать условия, исключённые из подгонки: другое положение, полезную нагрузку, направление, давление, траекторию или конфигурацию трубки.

Проводите валидацию по уровням:

Статическая геометрия и сила: подтвердите площади, объёмы, соглашения о знаках, силу тяжести и равновесные давления.
Испытания клапана и камер: где это практически возможно, сравните измеренные и предсказанные рост давления, спад давления, зону нечувствительности и задержку при фиксированном объёме.
Движение на малой скорости: выявите трение страгивания, гистерезис, сопротивление направляющих и остаточные ошибки, зависящие от направления.
Динамические траектории: сравните команду, оба давления, положение, скорость и ускорение в условиях эксплуатации, исключённых из подгонки.
Испытания замкнутого контура: проверьте установление, перерегулирование, статическую ошибку, насыщение, реакцию на возмущение и безопасное состояние в рабочей точке процесса.

Остаточные ошибки — это свидетельство.

Анализируйте форму остатка, а не только одну среднюю ошибку. Остаток давления, растущий во время выдержки, указывает на несоответствие тепловой модели или утечку. Остаток движения, меняющий знак при смене направления, указывает на трение или модель нагрузки. Задержка, общая для обеих кривых давления, может относиться к клапану или цепи сбора данных. Высокочастотная ошибка положения при чистых сигналах давления может указывать на динамику датчика или механики, не вошедшую в пневматическую модель.

Валидация должна отвечать на вопрос принятия решения: достаточно ли точна модель для выбора компонентов, прямой связи, планирования усиления, обнаружения неисправностей или мониторинга, связанного с безопасностью? Для этих задач нужны разные пределы ошибки. Модель, оценивающая время хода, всё ещё может быть непригодна для обратной связи по состоянию давления, а хорошая номинальная модель не доказывает поведение после отказа датчика, клапана или питания.

Модель готова только после того, как испытания на отложенных данных показывают, что её остаточная ошибка достаточно мала для поставленной задачи управления.

Перед выпуском в производство определите, как изолируется запасённая пневматическая энергия, как поддерживаются вертикальные или подвешенные нагрузки, что происходит при потере команды или обратной связи и как разрешается перезапуск. Характеристики управления никогда не заменяют оценку риска машины.

Частые вопросы о моделировании сервопневматики

ISO 6358-1 охватывает испытания установившегося расхода компонентов, тогда как приведённая выше проверенная нелинейная модель использовала два типа цилиндров и несколько конфигураций трубок. Эти четыре вопроса затрагивают границы, которые чаще всего искажают модель управления: терминологию газа, отсчёт давления, охват рабочих точек и синхронные измерения (ISO, 2013; ASME, 2000).

Является ли коэффициент сжимаемости Z тем же самым, что и пневматическая жёсткость?

Нет. $Z$ корректирует уравнение реального газа с учётом неидеального поведения. Пневматическая жёсткость — это локальная зависимость силы от перемещения, выведенная из давления в камере, эффективной площади поршня, запертого объёма и предполагаемого теплового процесса. Контроллер может использовать оба понятия, но замена одного другим приводит к неверным единицам и физической интерпретации.

Должна ли модель использовать манометрическое или абсолютное давление?

Используйте абсолютное давление в зависимостях состояния газа, плотности, отношения давлений, массового расхода, жёсткости и температуры. Манометрическое давление может оставаться полезным для отображения оператору и расчётов силы, если атмосферное влияние учитывается согласованно. Записывайте атмосферный отсчёт и никогда не подставляйте манометрическое значение непосредственно в уравнение идеального газа или политропы.

Может ли одна линейная модель охватить весь ход цилиндра?

Только если валидация показывает, что изменение объекта остаётся приемлемым для требуемых характеристик. Объёмы камер, отношения давлений клапана, трение, полезная нагрузка и направление могут менять локальную динамику. Для более широкого диапазона идентифицируйте несколько рабочих точек и проверьте каждый регулятор вместе с интерполяцией между ними, а не предполагайте масштабирование усиления только по положению.

Какие сигналы нужно записывать при валидации модели?

Записывайте команду клапана, обратную связь клапана при наличии, давление питания на входе клапана, оба давления в портах цилиндра, положение, состояние полезной нагрузки и синхронные временные метки. Выводите скорость и ускорение с документированным фильтрованием. Добавляйте температуру, силу или расход, если остатки показывают, что эти состояния важны. Проводите валидацию в технологической системе отсчёта, а не только по внутреннему датчику привода.

Источники и технические ссылки

NIST: расчёт коэффициента сжимаемости воздуха, доступ 2026-07-23.
ISO 6358-1: определение расходных характеристик с использованием сжимаемых сред, доступ 2026-07-23.
Richer и Hurmuzlu: высокопроизводительная пневматическая силовая система привода, часть I, доступ 2026-07-23.
Schulte и Hahn: планирование усиления с нечёткой обратной связью по состоянию для сервопневматических приводов, доступ 2026-07-23.
Улучшенное нелинейное моделирование и идентификация сервопневматической приводной системы, доступ 2026-07-23.
Festo: сервопневматические системы позиционирования, доступ 2026-07-23.

Сервопневматика: моделирование коэффициента сжимаемости в контурах управления

Eric Zhou