Calculer la fréquence propre d’un vérin pneumatique

La fréquence propre d’un vérin pneumatique est la fréquence d’oscillation libre du vérin, de la charge mobile et de la structure associée autour d’un état de fonctionnement défini. Pour un premier modèle de vérification, déterminez les surfaces et les volumes des deux chambres à une position donnée du piston, utilisez les pressions absolues dans les chambres, calculez la raideur pneumatique totale, puis appliquez l’équation de la fréquence propre d’un système masse-ressort.

Ce résultat ne constitue pas une caractéristique universelle du vérin. L’état du distributeur, le volume des tuyaux, la souplesse des fixations, les frottements, les modes propres de la structure, le comportement de la boucle de régulation, les variations de charge et la position du piston peuvent tous modifier la réponse mesurée. Le calcul est surtout utile lorsque ses hypothèses sont consignées et que sa prévision est vérifiée sur la machine assemblée.

Points essentiels

Un vérin à double effet se comporte comme 2 ressorts pneumatiques lorsque ses deux chambres sont fermées.

La pression doit être absolue et le volume de chaque chambre doit inclure le volume mort.

Dans l’exemple de calcul, la fréquence prévue passe de 4.82 Hz à mi-course à 6.83 Hz près d’une extrémité.

L’amortissement et la fréquence d’excitation déterminent si une fréquence propre devient une résonance dommageable.

Pour le contrôle de charge statique qui précède tout modèle dynamique, consultez notre guide de la formule de force d’un vérin. Si la machine heurte le fond du vérin au lieu d’osciller autour d’une position, utilisez plutôt le guide de l’amortissement des vérins pneumatiques.

Commencez par le bon modèle pneumatique

Doll, Neumann et Sawodny modélisent un vérin pneumatique comme 1 masse mobile reliée à un ressort pneumatique, les deux chambres étant fermées afin que la masse d’air comprimé contenue dans chacune reste constante (Dimensioning of Pneumatic Cylinders for Motion Tasks, 2015). Ces conditions aux limites définissent le calcul de vérification employé ici.

Vérin pneumatique à tirants ISO 15552 illustrant une configuration de vérin à tige et à double effet

Un distributeur réel modifie le modèle. S’il relie une chambre à l’alimentation et l’autre à l’échappement, la masse d’air des chambres n’est plus constante. Un servodistributeur et son régulateur peuvent ajouter une raideur et un amortissement effectifs, tandis qu’un long tuyau ou un réservoir ajoute du volume et une dynamique d’écoulement. Précisez l’état du distributeur avant d’annoncer une fréquence.

Le modèle utile le plus simple comprend :

la pression, la surface et le volume total de la chambre 1 ;
la pression, la surface et le volume total de la chambre 2 ;
le piston, la tige ou le chariot, la charge utile et toute autre masse mécanique mobile ;
l’amortissement dû aux frottements, aux joints, aux guidages, aux voies d’écoulement et aux structures associées ;
toute raideur mécanique agissant réellement en parallèle avec la raideur pneumatique.

Modèle de vérification d’un vérin à double effet maintenu près d’une position de fonctionnement définie. La formule ci-dessous traite les deux chambres fermées comme des ressorts pneumatiques ; la machine assemblée peut présenter d’autres modes.

N’additionnez pas la raideur de tous les composants voisins dans une seule valeur. Une équerre qui fléchit en série avec le vérin réduit, par exemple, la raideur combinée. Un ressort de rappel en parallèle l’augmente. Un bâti souple peut créer un mode distinct nécessitant un modèle à plusieurs degrés de liberté ou une analyse par éléments finis.

La première question la plus utile n’est pas « Quelle est la fréquence propre de ce vérin ? », mais « Quel état physique et quel mode calculons-nous ? ». Un vérin à mi-course avec ses orifices obturés constitue un système dynamique différent du même vérin se déplaçant à travers un distributeur d’étranglement.

Comment calculer les surfaces et les volumes des chambres ?

Un modèle expérimental de vérin à double effet emploie 2 surfaces effectives de piston et définit le volume de chaque chambre comme le volume mort d’extrémité augmenté du volume balayé dépendant de la position (Experimental Study of Double-Acting Pneumatic Cylinder, 2020). Cette structure évite une erreur courante : utiliser la surface totale du piston et le volume correspondant à la course complète des deux côtés.

Pour un vérin à tige simple de diamètre d’alésage $D$ et de diamètre de tige $d$ :

A_1 = \frac{\pi D^2}{4}

A_2 = A_1 - \frac{\pi d^2}{4}

$A_1$ est la surface effective côté fond et $A_2$ la surface annulaire côté tige, toutes deux exprimées en mètres carrés lorsque les diamètres sont saisis en mètres. Un vérin sans tige n’utilise normalement des surfaces effectives égales que si sa construction interne autorise cette hypothèse.

À la position $x$ du piston, mesurée depuis le fond, les volumes des chambres sont :

V_1 = V_{d1} + A_1 x

V_2 = V_{d2} + A_2(L-x)

$L$ est la course totale en mètres. $V_{d1}$ et $V_{d2}$ sont les volumes morts de chaque côté, y compris les cavités des fonds, les orifices, les raccords, les passages de capteurs et tout volume de tuyau raccordé qui fait encore partie du gaz emprisonné. Saisissez tous les volumes en mètres cubes.

Le volume des tuyaux est facilement sous-estimé. Un distributeur déporté ou un long flexible augmente le volume comprimé sans accroître la surface du piston, ce qui réduit la raideur pneumatique. Le calculateur de volume d’un tuyau pneumatique peut quantifier cette donnée, mais il ne calcule pas la fréquence propre.

Utilisez la pression absolue dans l’équation de raideur. Convertissez une pression manométrique en ajoutant la pression atmosphérique locale dans des unités compatibles. Une alimentation nominale de 6 bar manométriques correspond à environ 7 bar absolus près du niveau de la mer, mais les pressions réelles des chambres au maintien ou en mouvement peuvent différer du réglage du régulateur.

Comment calculer la raideur pneumatique et la fréquence propre ?

L’analyse de Czmerk montre que la raideur passive d’un vérin à double effet varie sur la course et que les volumes morts comptent près des positions extrêmes (Increasing of Stiffness of Double-Acting Pneumatic Cylinder, 2015). La raideur pneumatique est l’accroissement de la force de rappel par unité de déplacement du piston autour d’un état défini. La linéarisation des deux chambres fermées donne le modèle suivant.

k_p = nP_1\frac{A_1^2}{V_1} + nP_2\frac{A_2^2}{V_2}

$k_p$ est la raideur pneumatique en newtons par mètre. $P_1$ et $P_2$ sont les pressions absolues des chambres en pascals. $A_1$ et $A_2$ sont les surfaces effectives en mètres carrés. $V_1$ et $V_2$ sont les volumes comprimés totaux en mètres cubes. L’exposant polytropique sans dimension $n$ décrit le transfert thermique pendant la faible variation pression-volume.

Pour un gaz idéalisé, $n=1$ représente un processus isotherme et $n=1.4$ un processus adiabatique ; les conditions intermédiaires se situent entre ces deux valeurs (Neural Network Modeling of Air Spring Dynamic Stiffness Based on Its Pneumatic Physics, 2026). Cette source étudie des ressorts pneumatiques : utilisez donc cette plage comme indication sur le processus gazeux, et non comme valeur d’essai universelle pour les vérins. En l’absence de valeur validée, effectuez une analyse de sensibilité au lieu de dissimuler l’hypothèse.

Si un ressort mécanique agit en parallèle, sa raideur peut être ajoutée à $k_p$ . N’ajoutez pas simplement la raideur du bâti, d’une équerre, d’un accouplement ou d’un guidage sans avoir prouvé que le chemin de charge les place en parallèle. Appelez le résultat correctement combiné $k_{\mathrm{total}}$ .

La fréquence propre non amortie est :

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{total}}}{m_{\mathrm{eff}}}}

$f_n$ est exprimée en hertz, $k_{\mathrm{total}}$ en newtons par mètre et $m_{\mathrm{eff}}$ en kilogrammes. La masse effective comprend normalement la charge utile, le piston et la tige ou le chariot, l’outillage, ainsi que la fraction mobile appropriée des liaisons souples. N’ajoutez pas la masse d’air comprimé comme si elle se déplaçait rigidement avec la charge.

Pour une estimation monomodale faiblement amortie, la fréquence d’oscillation libre amortie vaut :

f_d = f_n\sqrt{1-\zeta^2}

$\zeta$ est le taux d’amortissement. Cette relation n’est utile que si un mode domine et si l’amortissement peut être approximé par un comportement visqueux. Le frottement des joints et le broutage sont non linéaires ; le comportement à basse vitesse peut donc ne pas correspondre à ce modèle.

Exemple de calcul : vérin d’alésage 63 mm à mi-course

Avec les équations à 2 chambres ci-dessus, un alésage de 63 mm, une tige de 20 mm, une course de 400 mm, une masse effective de 25 kg, un volume mort de 50 cm³ par côté, une pression absolue de 7 bar dans les chambres et $n=1.2$ donnent une fréquence propre prévue de 4.82 Hz à mi-course. Il s’agit d’un résultat de modèle, pas d’une valeur catalogue.

Supposons que le piston soit à $x=0.200\ \mathrm{m}$ et négligeons la raideur mécanique supplémentaire pour ce premier calcul.

Donnée	Valeur
Diamètre d’alésage, $D$	0.063 m
Diamètre de tige, $d$	0.020 m
Course, $L$	0.400 m
Position, $x$	0.200 m
Volume mort par chambre	0.000050 m³
Pression absolue dans chaque chambre	700,000 Pa
Exposant polytropique, $n$	1.2
Masse mobile effective, $m_{\mathrm{eff}}$	25 kg

Les surfaces calculées sont $A_1=0.003117\ \mathrm{m^2}$ et $A_2=0.002803\ \mathrm{m^2}$ . À mi-course, les volumes totaux des chambres sont $V_1=0.000673\ \mathrm{m^3}$ et $V_2=0.000611\ \mathrm{m^3}$ .

Les contributions des deux chambres à la raideur valent environ 12,120 N/m et 10,809 N/m :

k_p = 12120 + 10809 = 22929\ \mathrm{N/m}

En remplaçant la masse effective par 25 kg :

f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{22929}{25}} = 4.82\ \mathrm{Hz}

Que se passe-t-il si la masse effective double alors que la raideur reste inchangée ? La fréquence propre diminue selon la racine carrée du rapport des masses ; la nouvelle valeur est donc d’environ $f_n=3.41\ \mathrm{Hz}$ . À l’inverse, réduire la masse sans vérifier l’excitation peut déplacer une résonance vers le haut et la faire coïncider avec une autre harmonique de fonctionnement.

Traitez la feuille de calcul comme un modèle de sensibilité. Modifiez une seule donnée incertaine à la fois : volume mort, $n$ , pression des chambres, masse mobile ou raideur structurelle. Une plage de fréquences défendable qui met en évidence la mesure la plus importante peut être plus utile qu’un résultat unique d’apparence précise.

Pourquoi la fréquence propre varie-t-elle sur la course ?

Pour un vérin sans tige ayant des volumes morts et des pressions de chambre égaux, Doll et ses collègues identifient la position médiane comme le point de raideur minimale dans leur modèle simplifié (Dimensioning of Pneumatic Cylinders for Motion Tasks, 2015). Un vérin à tige simple est asymétrique, mais le volume de ses deux chambres varie lui aussi continuellement avec la position du piston.

L’application des mêmes données à 5 positions fournit le résultat suivant, issu du modèle :

Position depuis le fond	Raideur pneumatique	Fréquence propre prévue
50 mm	46,051 N/m	6.83 Hz
100 mm	29,974 N/m	5.51 Hz
200 mm	22,929 N/m	4.82 Hz
300 mm	28,267 N/m	5.35 Hz
350 mm	41,863 N/m	6.51 Hz

Dans cet exemple, le minimum se situe près de la mi-course parce que les deux volumes comprimés y sont relativement importants. Près d’une extrémité, une chambre devient petite et sa contribution à la raideur augmente fortement. Les pressions réelles peuvent être inégales et des volumes morts différents peuvent déplacer ce minimum.

Vérin sans tige à liaison mécanique illustrant la masse du chariot, le volume des chambres sur une grande course et les effets du guidage

Un vérin sans tige n’a pas automatiquement une fréquence propre plus élevée. La suppression d’une tige peut réduire la masse mobile, mais une grande course augmente le volume des chambres ; le chariot, le guidage, la bande d’étanchéité, l’accouplement magnétique, le déport de charge et la portée entre fixations peuvent en outre introduire de la souplesse ou d’autres modes. Comparez les ensembles mobiles complets dans le même état de fonctionnement.

C’est aussi pourquoi un problème mesuré peut n’apparaître que sur une partie de la course. Répétez le calcul et l’essai aux positions utiles : départ en charge, mi-course, position de travail et approche de fin de course. Pour les effets de l’installation, consultez le guide de montage et d’alignement des actionneurs et le guide de montage des vérins sans tige.

La résonance dépend de l’amortissement et de l’excitation

Pour un rapport de fréquences $r=1$ , un modèle linéaire à un degré de liberté donne une amplification du déplacement de 10 lorsque $\zeta=0.05$ , mais seulement de 2.5 lorsque $\zeta=0.20$ . Le calcul suit l’équation standard de réponse forcée ci-dessous. Il montre pourquoi aucune affirmation fixe de « 10 à 50 fois » ne peut décrire toutes les machines pneumatiques.

Le rapport de fréquences est la fréquence d’excitation divisée par la fréquence propre :

r = \frac{f_{\mathrm{exc}}}{f_n}

$f_{\mathrm{exc}}$ est la fréquence d’excitation et $f_n$ la fréquence propre calculée. Pour un système linéaire, monomodal et soumis à une excitation harmonique, l’amplification du déplacement vaut :

M(r) = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}

$M$ est le rapport entre l’amplitude du déplacement en régime permanent et le déplacement statique correspondant. Pour $r=1$ , l’expression devient $M=1/(2\zeta)$ . Un faible amortissement crée un pic plus aigu ; un amortissement plus important le réduit et l’élargit. La formule ne s’applique pas aux butées rigides, aux chocs dus aux jeux, aux frottements de joints fortement non linéaires, à la saturation des distributeurs ni aux modes multiples couplés.

Qu’est-ce qui constitue une excitation ? Vérifiez la fréquence de cycle commandée, les harmoniques du profil de mouvement, la commutation des distributeurs, les équipements rotatifs voisins, le passage des dents ou des alvéoles d’un convoyeur, les pulsations du compresseur et les chocs répétés en fin de course. Un cycle machine d’une seconde a une fondamentale de 1 Hz, mais sa forme d’onde d’accélération peut contenir des harmoniques bien plus élevées.

Ne qualifiez pas chaque pic vibratoire de résonance pneumatique. Si une variation de la pression des chambres déplace le pic, la raideur pneumatique est probablement en cause. Si le pic reste presque fixe alors que le montage ou la charge utile le modifie, un mode structurel peut dominer. Si l’oscillation dépend fortement du gain du régulateur, de la bande morte ou de l’échantillonnage, examinez la boucle de régulation.

Comment vérifier le calcul sur la machine ?

Une étude sur un vérin à double effet a échantillonné la pression et le déplacement toutes les 0.1 ms et répété chaque condition 45 fois afin de caractériser le comportement dynamique (Experimental Study of Double-Acting Pneumatic Cylinder, 2020). Un contrôle en usine n’a pas à reproduire ce protocole de laboratoire, mais il doit synchroniser les signaux de mouvement, de pression et de vibration.

Suivez cette séquence :

Définissez l’état. Consignez la position du piston, la charge utile, l’orientation, les pressions des deux chambres, la commande du distributeur, le réglage du régulateur, les réglages de débit, les dimensions des tuyaux, l’état du guidage et la configuration de montage.
Sécurisez l’essai. Tenez le personnel à l’écart de la zone de mouvement, réduisez l’énergie lorsque c’est possible et ne balayez pas une résonance présumée à pleine force de production sans plan d’essai approuvé.
Mesurez les bons signaux. Placez si possible un accéléromètre sur le chariot ou la charge mobile et un autre sur le bâti. Ajoutez les pressions des deux chambres et la position ou la vitesse.
Excitez doucement. Utilisez un balayage commandé de faible amplitude, un échelon contrôlé ou un essai de choc documenté adapté à la machine. Les chocs contre les fonds ne remplacent pas une méthode d’excitation sûre.
Recherchez des pics reproductibles. Comparez les spectres, la phase, la fréquence de décroissance libre et le comportement pression-position sur plusieurs essais.
Modifiez un seul paramètre. Recommencez avec une variation connue de masse, de pression ou de position. Un modèle valide doit prévoir le sens du déplacement de la fréquence.

D’après notre expérience, le gain diagnostique le plus rapide vient de l’enregistrement des pressions des deux chambres plutôt que de la seule lecture du manomètre du régulateur. Celui-ci indique le réglage d’alimentation ; il ne prouve ni la pression emprisonnée, ni la contre-pression d’échappement, ni la pression dynamique au niveau du vérin lorsque la vibration se produit.

L’étude d’identification d’un servosystème pneumatique de 2005 a mesuré la fréquence propre en fonction de la position du piston et utilisé cette courbe pour guider la conception du régulateur (Noskievi, Identification of the Pneumatic Servo System Using Self-Excited Oscillations, 2005). C’est un rappel utile : pour un positionnement asservi, la carte de fréquences peut compter davantage qu’une seule valeur à mi-course.

ISO 20816-1:2016 fournit des conditions et procédures générales pour mesurer et évaluer les vibrations des machines complètes. Elle peut guider un programme de surveillance vibratoire en usine, mais ne fixe pas de limite universelle de résonance pour un vérin pneumatique et ne remplace ni le modèle fréquentiel ni les critères d’acceptation propres à l’application.

Que modifier lorsque les fréquences sont trop proches ?

Dans le modèle à chambres fermées, doubler la masse mobile à raideur constante ramène la fréquence propre à environ 70.7 % de sa valeur initiale. Doll et ses collègues montrent de même que conserver la même fréquence propre après avoir doublé la masse exige une modification correspondante du dimensionnement lié à la raideur (Dimensioning of Pneumatic Cylinders for Motion Tasks, 2015).

Choisissez une correction qui agit sur le mécanisme identifié :

Déplacez l’excitation. Modifiez le temps de cycle, les rampes d’accélération, les temps de pause, la commutation des distributeurs ou la vitesse des équipements rotatifs voisins pour que les harmoniques dominantes n’excitent pas continuellement le mode.
Modifiez délibérément la masse mobile. Une réduction de masse augmente la fréquence propre à raideur constante ; un ajout de masse la diminue. Les deux directions peuvent aider ou aggraver le problème : recalculez donc toute la plage de fonctionnement.
Modifiez la raideur pneumatique. La pression des chambres, la surface du piston, le volume emprisonné, le volume mort et l’état du distributeur influent sur la raideur. Une pression plus élevée peut accroître la raideur, mais modifie aussi la force disponible et l’énergie stockée. N’utilisez jamais la pression comme simple réglage sans contrôler les caractéristiques des composants et les risques machine.
Corrigez le chemin de charge. Rigidifiez une équerre souple, raccourcissez une portée non soutenue, supprimez un point dur ou ajoutez un guidage adapté si le mode mesuré est structurel. Les boulons de fixation ne doivent pas forcer l’alignement de pièces mal positionnées.
Ajoutez de l’amortissement là où l’énergie peut être dissipée en sécurité. Un amortisseur, un absorbeur de chocs, un amortissement de fin de course ou une stratégie de commande doit correspondre au mode. Un choc de fin de course relève d’une analyse de l’énergie d’amortissement, et non d’une formule de résonance à mi-course.
Réglez de nouveau le régulateur après avoir identifié le système. Une baisse du gain, des consignes filtrées, des filtres coupe-bande ou une adaptation du gain peuvent aider un axe servopneumatique, mais le logiciel ne doit pas masquer des fixations desserrées, un guidage sous-dimensionné ou un problème de choc.

Il n’existe pas de pourcentage universel de séparation sûre pour toutes les machines pneumatiques. Définissez les plages de vitesse, de charge, de position sur la course et de pression, ainsi que les perturbations plausibles, puis vérifiez que la réponse mesurée reste acceptable sur toute cette enveloppe. Consignez les réglages finaux pour que la maintenance puisse ensuite repérer leur dérive.

FAQ sur le calcul de la fréquence propre

Ces 5 questions distinguent l’équation de vérification du comportement de la machine assemblée. Le modèle utilise 2 pressions de chambre, 2 surfaces effectives, 2 volumes de chambre, une masse effective et un état précisé du distributeur (Doll et al., 2015). L’absence d’une seule de ces données peut modifier le mode prévu.

La cadence de cycle est-elle identique à la fréquence propre ?

Non. La cadence de cycle est une fréquence de fonctionnement commandée, tandis que la fréquence propre caractérise le système masse-raideur autour d’un état défini. Un cycle de 1 Hz peut encore contenir des harmoniques d’accélération et des chocs à des fréquences plus élevées. Comparez le contenu d’excitation mesuré aux modes calculés et mesurés, plutôt que la seule cadence.

Faut-il utiliser la pression manométrique ou absolue dans l’équation de raideur ?

Utilisez la pression absolue de la chambre. La raideur du gaz dépend de l’état pression-volume de l’air emprisonné ; la pression manométrique omet donc la pression atmosphérique. Mesurez si possible les deux chambres dans les conditions de fonctionnement. Le réglage du régulateur ne remplace pas les pressions réelles côté fond et côté tige, surtout lorsque les distributeurs, les tuyaux et les restrictions d’échappement sont actifs.

Un vérin sans tige a-t-il toujours une fréquence propre plus élevée ?

Non. Une conception sans tige peut réduire la masse de la tige mobile, mais la fréquence propre dépend aussi de la masse du chariot et de la charge utile, des volumes des deux chambres, de la pression, de la raideur du guidage et des fixations, du comportement de l’accouplement et de la position sur la course. Les grandes courses peuvent augmenter le volume emprisonné et introduire des modes structurels ; comparez donc les ensembles complets dans les mêmes conditions aux limites.

Quand faut-il refaire le calcul ?

Refaites-le après toute modification de la charge utile, de l’outillage, de la position du piston, de la pression de service, de la longueur des tuyaux ou flexibles, de l’état du distributeur, du montage, de la raideur du guidage, des réglages de commande ou du profil de mouvement. Recalculez également si la pression mesurée diffère de l’hypothèse initiale. Le résultat utile est une plage de fréquences couvrant les cas de fonctionnement plausibles, pas une valeur permanente unique.

Une modification de la vitesse du vérin peut-elle supprimer la résonance ?

Elle peut éloigner l’excitation d’un mode, mais la vitesse n’est qu’une donnée parmi d’autres. Un nouveau profil de mouvement peut introduire d’autres harmoniques et une approche plus rapide en fin de course augmente l’énergie de choc. Mesurez la réponse après avoir modifié la vitesse, puis confirmez l’amortissement de fin de course, le débit du distributeur, le temps de cycle, la stabilité de la commande et toute l’enveloppe de fonctionnement avant validation.

Sources et références techniques

Les sources techniques sont reliées au passage où chaque hypothèse du modèle, équation, méthode expérimentale ou résultat dérivé est examiné.

Les informations sur l’auteur et l’entreprise sont disponibles sur la page À propos. Les lecteurs peuvent envoyer leurs questions techniques ou corrections de sources via la page Contact.

Comment calculer la fréquence propre pour éviter des défaillances coûteuses dues à la résonance dans votre système pneumatique ?

Jack Chen