Формула Эйлера: расчёт критической нагрузки

Q: Изменяет ли повышение давления воздуха критическую нагрузку по Эйлеру?

Давление напрямую не изменяет критическую нагрузку по Эйлеру, если модуль упругости, момент инерции сечения, коэффициент эффективной длины и длина остаются прежними. Однако оно может увеличить сжимающее усилие цилиндра и уменьшить рабочий запас. При каждом изменении регулируемого давления заново рассчитывайте максимальное усилие и сравнивайте его с допустимой нагрузкой потери устойчивости.

Формула Эйлера позволяет оценить идеальную упругую сжимающую нагрузку, при которой длинный прямой тонкий стержень теряет поперечную устойчивость. Для штока пневматического цилиндра расчёту нужны четыре однозначно заданных параметра: модуль Юнга, минимальный центральный момент инерции площади сечения, физическая свободная длина и коэффициент эффективной длины, описывающий закрепление концов. Одного значения хода недостаточно.

Эта статья представляет собой расчётный лист. В ней показано, как составить уравнение, согласовать единицы, сравнить сплошное и полое круглые сечения и понять, когда результат выходит за границы применимости теории Эйлера. Для более широкой проверки на уровне машины, включая случаи максимального сжатия, направляющие, поперечную нагрузку, варианты переработки конструкции и бесштоковые альтернативы, используйте руководство по потере устойчивости поршневого штока при большом ходе.

Ключевые выводы

Нагрузка по Эйлеру пропорциональна жёсткости штока $EI$ и обратно пропорциональна квадрату эффективной длины.

Момент инерции площади сплошного круглого штока пропорционален четвёртой степени диаметра.

В приведённой методике P1F компания Parker рекомендует коэффициент запаса от 3,5 до 5; это не универсальная норма.

Расчёт служит предварительной проверкой штока; окончательный выбор определяется диаграммой конкретного изготовителя цилиндра.

Что рассчитывает формула потери устойчивости Эйлера?

MIT описывает потерю устойчивости по Эйлеру как упругую неустойчивость длинного тонкого стержня при осевом сжатии и приводит выражение через эффективную длину $F_{\mathrm{cr}}=\pi^2EI/L_e^2$ (MIT OpenCourseWare). Полученный результат — идеальная бифуркационная нагрузка, а не разрушающая нагрузка материала и не полная допустимая нагрузка цилиндра.

Расчёт выполняется по формуле:

P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}

Эффективная длина равна:

L_e = K L

Объединение этих двух зависимостей даёт:

P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}

В этих уравнениях:

$P_{\mathrm{cr}}$ — идеальная критическая нагрузка по Эйлеру в ньютонах.
$E$ — модуль Юнга в $\mathrm{N/mm^2}$ при использовании миллиметровых единиц.
$I$ — минимальный центральный момент инерции площади сечения в $\mathrm{mm^4}$ .
$L$ — физическая свободная длина в миллиметрах.
$K$ — безразмерный коэффициент эффективной длины.
$L_e$ — эффективная длина потери устойчивости в миллиметрах.

Критическая нагрузка по Эйлеру — это расчётная осевая сжимающая нагрузка, при которой идеальное прямолинейное упругое равновесие становится неустойчивым. Она не гарантирует, что реальный шток цилиндра сохранит прямолинейность вплоть до этого значения. Начальная кривизна, эксцентриситет нагрузки, зазоры, поперечная нагрузка, локальные изменения сечения и неидеальное закрепление могут уменьшить допустимую рабочую нагрузку.

Формула также не рассчитывает усилие цилиндра. Отдельно определите максимально возможное сжимающее усилие, а затем сравните его с допустимой нагрузкой конкретного изделия. В руководстве SMC по выбору цилиндров указано, что в таблицах хода максимальное развиваемое усилие цилиндра следует учитывать как силу, вызывающую потерю устойчивости. Это относится и к малонагруженному цилиндру, который при выдвижении останавливается внешним упором (SMC).

Расчётный лист исходных данных: E, I, L и K

В уравнении эффективной длины MIT используются четыре величины — $E$ , $I$ , $L$ и $K$ , тогда как ISO 15552 распространяется на взаимозаменяемые размеры цилиндров с диаметром поршня от 32 до 320 mm при максимальном номинальном давлении 1,000 kPa (MIT, ISO). Стандартизация размеров не задаёт единого универсального набора исходных данных для расчёта потери устойчивости.

До расчёта зафиксируйте каждое значение и его источник:

Параметр	Что необходимо зафиксировать	Типичная ошибка
$E$	Материал штока, термообработка, температура, единицы, источник данных	Использование общего значения для стали при неизвестном материале штока
$I$	Форма и фактические размеры опасного сечения	Использование диаметра поршня или номинального диаметра резьбы
$L$	Свободная физическая длина в наиболее неблагоприятном положении	Ввод номинального хода без учёта переходников и опор
$K$	Модель закрепления концов или монтажная схема изготовителя	Назначение теоретического значения по коммерческому названию крепления
$P_{\mathrm{applied}}$	Максимально возможная осевая сжимающая нагрузка	Учёт только обычного усилия от полезной нагрузки
$S_F$	Методика изготовителя или документированное расчётное обоснование	Принятие коэффициента из одного каталога за универсальную норму

Модуль Юнга

Модуль Юнга характеризует упругую осевую жёсткость. Используйте значение для фактического материала и температуры штока, предпочтительно по данным изготовителя или контролируемым данным на материал. Поверхностная закалка или хромирование не означают, что модуль всего сечения штока автоматически становится равным модулю покрытия.

В иллюстративном расчёте для стали часто используют:

E = 200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}

Это значение равно 200 GPa. Оно приведено лишь как пример исходных данных и не подтверждает материал приобретённого цилиндра.

Свободная физическая длина

Измерьте физическое расстояние, на котором шток способен изгибаться при наиболее неблагоприятном выдвинутом положении. Учтите открытую часть штока и все не имеющие опоры переходники на его конце, предусмотренные выбранной методикой. Номинальный ход 800 mm может соответствовать иной свободной длине, если поршень, подшипник, вилка, присоединённая деталь или внешняя опора изменяют фактические точки закрепления.

Величина $L$ описывает геометрию. Величина $L_e=KL$ — эквивалентная длина, используемая в уравнении Эйлера. Храните их в отдельных ячейках расчётного листа, чтобы происхождение эффективной длины оставалось очевидным.

Приложенное сжимающее усилие

Для выбранной методики используйте максимально возможное осевое сжимающее усилие. Оно может возникнуть при полном регулируемом давлении во время заклинивания или остановки внешним упором, а не только при нормальной полезной нагрузке. Калькулятор усилия цилиндра и руководство по эффективной площади поршня помогут определить составляющую этого случая нагрузки, связанную с давлением и площадью.

Не вычитайте произвольный процент КПД, если методика изготовителя для проверки устойчивости прямо требует использовать максимальное развиваемое усилие. Следуйте допущениям этой методики.

Храните четыре исходных параметра раздельно. Правильное уравнение не исправит предположительный материал, неверное сечение, длину, принятую только по ходу, или неподтверждённую схему закрепления концов.

Как выбрать коэффициент эффективной длины K?

MIT приводит четыре идеальных варианта закрепления концов и определяет $L_e=KL$ ; для шарнирно опёртого с обоих концов стержня $K=1$ (MIT OpenCourseWare). Знакомые коэффициенты 2.0, 1.0, около 0.7 и 0.5 относятся к идеальным стержням и не следуют автоматически из названий креплений цилиндра.

Идеальное закрепление концов	Теоретический $K$	Относительная нагрузка по Эйлеру при том же $L$
Защемление — свободный конец	2.0	0.25
Шарнир — шарнир	1.0	1.00
Защемление — шарнир	около 0.7	около 2.04
Защемление — защемление	0.5	4.00

Относительная нагрузка рассчитывается по формуле $R_K=1/K^2$ при неизменных остальных параметрах. Эти значения показывают влияние закрепления. Они не доказывают, что фланец обеспечивает идеальное защемление или что вилка во всех плоскостях работает как идеальный шарнир.

Коэффициент эффективной длины (K) преобразует физическую свободную длину в эквивалентную длину стержня Эйлера для заданной формы потери устойчивости и модели закрепления концов. Это не поправка на поперечную нагрузку, несоосность, трение, удар или неизвестную опору.

Перед выбором $K$ составьте модель реального узла:

Определите, где ограничено поперечное перемещение каждого конца.
Установите, может ли каждый конец поворачиваться в предполагаемой плоскости изгиба.
Учтите податливость кронштейна, проушины штока, пальца вилки, подшипника, каретки и рамы машины.
Проверьте, различается ли закрепление в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Используйте монтажную схему изготовителя цилиндра, если его методика её определяет.

В опубликованном примере Festo выбран коэффициент запаса 5, а неблагоприятная длина потери устойчивости цилиндра с поворотным креплением для этой методики приближённо принимается равной удвоенному ходу (Festo). Это правило конкретной модели. Оно не означает, что $K=2$ подходит для любого цилиндра с шарнирным креплением.

Что делать, если поведение концов невозможно обосновать? Для предварительной проверки используйте более консервативный документированный вариант, а затем запросите проверку изготовителя, примените подтверждённую расчётную модель или проведите испытание. Не придумывайте промежуточный коэффициент только потому, что механизм выглядит «частично защемлённым».

Как рассчитать I для сплошного и полого штока?

MIT приводит формулу $I=\pi d^4/64$ для сплошного круглого сечения (MIT OpenCourseWare). Поскольку диаметр возводится в четвёртую степень, точность размеров сечения сильно влияет на результат. Используйте наименьшее конструктивное сечение, участвующее в изгибе стержня, а не диаметр поршня или декоративный наружный размер.

Для сплошного круглого штока:

I_{\mathrm{solid}} = \frac{\pi d^4}{64}

Здесь $d$ — фактический диаметр проверяемого сечения штока.

Для полого круглого штока:

I_{\mathrm{hollow}} = \frac{\pi\left(D^4-d_i^4\right)}{64}

Здесь $D$ — наружный диаметр, а $d_i$ — внутренний диаметр. Оба размера должны быть выражены в одинаковых единицах.

Для любого сечения рассчитайте площадь $A$ и радиус инерции $r$ :

r = \sqrt{\frac{I}{A}}

Гибкость стержня равна:

\lambda = \frac{L_e}{r}

Гибкость стержня — это отношение эффективной длины к радиусу инерции сечения. Большее значение соответствует более гибкому стержню, однако универсальной границы годности для любого материала и изделия оно не задаёт. Теория Эйлера требует, чтобы прогнозируемое поведение оставалось в упругой области, характерной для тонких стержней.

Согласованные сочетания единиц

Модуль	Момент инерции	Длина	Результат
$\mathrm{N/mm^2}$	$\mathrm{mm^4}$	$\mathrm{mm}$	N
Pa или $\mathrm{N/m^2}$	$\mathrm{m^4}$	m	N

Не подставляйте $E$ в GPa непосредственно в уравнение с миллиметрами. Сначала выполните преобразование. Например, $E=200\ \mathrm{GPa}$ соответствует $E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$ .

Резьба, лыски под ключ, канавки, просверленные каналы или ступени диаметра могут образовать меньшее опасное сечение. Будет ли такой локальный элемент определять общую потерю устойчивости по Эйлеру, зависит от его положения, длины, жёсткости и выбранной расчётной модели. Если в каталоге изготовителя указан расчётный диаметр штока, используйте его.

Пример расчёта: сплошной шток 20 mm при длине 800 mm

В каталоге Parker P1F примеры рассчитаны по максимальному усилию поршня с четырёхкратной проверкой запаса устойчивости, при этом для данной методики изделия рекомендуется коэффициент от 3,5 до 5 (Parker). Приведённый ниже лист использует другой идеализированный шток исключительно для демонстрации единиц и влияния закрепления концов.

Примем:

диаметр сплошного штока $d=20\ \mathrm{mm}$ ;
физическую свободную длину $L=800\ \mathrm{mm}$ ;
иллюстративный модуль стали $E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$ ;
для первого случая $K=1.0$ ;
иллюстративный коэффициент запаса $S_F=4$ ; и
приложенное осевое сжимающее усилие $P_{\mathrm{applied}}=4{,}000\ \mathrm{N}$ .

Сначала рассчитаем момент инерции площади сечения:

I = \frac{\pi\left(20\ \mathrm{mm}\right)^4}{64} \approx 7{,}854\ \mathrm{mm^4}

Рассчитаем эффективную длину:

L_e = K L = 1.0\left(800\ \mathrm{mm}\right) = 800\ \mathrm{mm}

Затем рассчитаем идеальную нагрузку по Эйлеру:

P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2} = \frac{\pi^2 \times 200000 \times 7854}{800^2} \approx 24224\ \mathrm{N}

Для иллюстративного коэффициента 4:

P_{\mathrm{allow}} = \frac{P_{\mathrm{cr}}}{S_F} = \frac{24{,}224\ \mathrm{N}}{4} \approx 6{,}056\ \mathrm{N}

Проверочное отношение к приложенному сжимающему усилию 4,000 N равно:

R_{\mathrm{screen}} = \frac{P_{\mathrm{allow}}}{P_{\mathrm{applied}}} = \frac{6{,}056}{4{,}000} \approx 1.51

Теперь изменим только идеальное закрепление концов на схему «защемление — свободный конец», $K=2.0$ . Эффективная длина станет равной 1,600 mm, поэтому нагрузка по Эйлеру уменьшится в четыре раза:

P_{\mathrm{cr},K=2} = \frac{24{,}224\ \mathrm{N}}{2^2} \approx 6{,}056\ \mathrm{N}

При том же иллюстративном коэффициенте 4:

P_{\mathrm{allow},K=2} = \frac{6{,}056\ \mathrm{N}}{4} \approx 1{,}514\ \mathrm{N}

Приложенная нагрузка 4,000 N ниже иллюстративно допустимого значения в первом случае, но выше во втором. Материал и диаметр штока не изменились. Один лишь выбор схемы закрепления изменил результат предварительной проверки на противоположный.

Если электронная таблица скрывает $K$ внутри одной ячейки «эффективная длина», такую ошибку трудно проверить. Показывайте физическую длину и коэффициент закрепления концов отдельно и фиксируйте обоснование выбранной схемы.

ИнструментПодбор цилиндракалькулятор продольного изгиба штокаВведите диаметр штока, свободную длину, схему закрепления концов, сжимающее усилие и коэффициент запаса, чтобы предварительно оценить критическую нагрузку по Эйлеру перед проверкой каталога конкретного цилиндра.Критическая нагрузка = pi^2 x E x I / эффективная длина^2диаметр штокаНеподдерживаемая длинаКоэффициент закрепления концовПриложенное сжимающее усилиеОткрыть калькулятор

Почему диаметр влияет сильнее, чем длина?

Объединение уравнений MIT для нагрузки по Эйлеру и сплошного круглого сечения даёт $P_{\mathrm{cr}}\propto d^4/L_e^2$ (MIT OpenCourseWare). При неизменных материале и закреплении увеличение диаметра на 25% повышает идеальную нагрузку примерно в 2.44 раза, а увеличение эффективной длины на 50% уменьшает её примерно до 0.44 исходного значения.

Для двух сплошных штоков из одного материала:

\frac{P_{\mathrm{cr},2}}{P_{\mathrm{cr},1}} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4 \left(\frac{L_{e,1}}{L_{e,2}}\right)^2

Это отношение удобно тем, что модуль и общие постоянные сокращаются. Однако оно не отменяет необходимости проверять фактический диаметр штока, эффективную длину, приложенное усилие и ограничение изготовителя.

Из формулы непосредственно следуют три проверки чувствительности:

При увеличении диаметра с 20 до 25 mm идеальная нагрузка возрастает в ${(25/20)^4 \approx 2.44} раза.
При увеличении эффективной длины с 800 до 1,200 mm идеальная нагрузка изменяется в ${(800/1200)^2 \approx 0.44} раза.
При изменении $K$ с 1 до 2 идеальная нагрузка изменяется в ${(1/2)^2 = 0.25} раза.

Диаметр влияет в четвёртой степени, а эффективная длина — обратно пропорционально квадрату. Эти отношения применимы только пока выбранная модель Эйлера остаётся действительной.

Больший диаметр поршня не означает больший запас устойчивости. При неизменном давлении увеличение диаметра поршня повышает максимальное усилие цилиндра. Соответствующий шток также может стать толще, но рост усилия и увеличение параметра сечения по закону $d^4$ необходимо сравнивать для точной конфигурации изделия.

Когда результата по Эйлеру уже недостаточно?

В опубликованном графике штока Festo используется коэффициент запаса 5, а Parker рекомендует от 3,5 до 5 для приведённой методики расчёта устойчивости P1F (Festo, Parker). Различие методик доказывает, что отдельный результат по Эйлеру не является универсальным разрешением на применение изделия.

Простой результат недостаточен, если:

элемент настолько короткий, что определяющими могут стать текучесть или неупругая потеря устойчивости;
расчётное критическое напряжение приближается к пределу пропорциональности или текучести материала;
нагрузка приложена эксцентрично или начальный изгиб значителен;
шток воспринимает поперечную нагрузку либо служит направляющей для полезной нагрузки;
жёсткость опор или поворот концов невозможно сопоставить с проверенной схемой;
жёсткость определяется резьбовым, проточенным, полым, ступенчатым или локально уменьшенным сечением;
давление, удар, вибрация, сила тяжести или заклинивание создают несколько случаев сжатия;
изготовитель публикует более ограничительную диаграмму «ход — нагрузка»; или
последствия требуют подтверждённого анализа либо физических испытаний.

Критическое напряжение по Эйлеру можно записать как:

\sigma_{\mathrm{cr}} = \frac{P_{\mathrm{cr}}}{A} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}

Эта форма помогает проверить, остаётся ли идеальное критическое напряжение в упругой области. Она не задаёт допустимое напряжение материала, универсальную границу гибкости или полную модель неупругого стержня.

Поперечная нагрузка требует отдельного расчёта. Вывод формулы Эйлера предполагает осевое сжатие идеального прямого элемента. Благоприятная критическая нагрузка не разрешает поршневому штоку поддерживать смещённую полезную нагрузку. Если есть сомнения в соосности или направляющих, изучите руководство по поперечной нагрузке линейных приводов и руководство по прогибу поршневого штока.

Соблюдайте следующий порядок доказательств:

Определите максимально возможное сжимающее усилие.
Выполните прозрачную предварительную проверку по Эйлеру с зафиксированными единицами и допущениями.
Примените коэффициент запаса или методику допустимой нагрузки именно для выбранного изделия.
Проверьте актуальные таблицы изготовителя для хода, нагрузки и монтажной схемы.
Отдельно оцените поперечную нагрузку, удар, демпфирование, кронштейны и направляющие.
Если границы применимости модели не соблюдены, передайте расчёт изготовителю, выполните МКЭ или проведите испытания.

ISO 15552 подтверждает размерную взаимозаменяемость для определённого семейства цилиндров и класса давления. Стандарт не устанавливает единую допустимую нагрузку потери устойчивости штока. Два размерно взаимозаменяемых цилиндра могут иметь разные диаметры и материалы штоков, допустимые ходы, монтажные схемы и каталоговые ограничения.

Часто задаваемые вопросы о формуле Эйлера

SMC предписывает учитывать максимальное развиваемое усилие цилиндра в таблицах устойчивости, а Parker рекомендует коэффициент от 3,5 до 5 в приведённой методике P1F. Следующие пять вопросов относятся к тем параметрам расчётного листа, которые чаще всего меняют результат: физической длине, $K$ , коэффициенту запаса, давлению и границе между предварительным расчётом по Эйлеру и подтверждением пригодности изделия.

Можно ли принимать ход цилиндра за свободную длину штока?

Не автоматически. Ход — это перемещение привода, а свободная длина — физическая длина стержня, способная изогнуться в наиболее неблагоприятном положении механизма. На неё влияют открытая часть штока, опора поршня, подшипники, переходники на конце штока, шарниры и внешние опоры. Используйте геометрию и определение длины, предусмотренные выбранной методикой изготовителя.

Какое значение K использовать для цилиндра с вилочным креплением?

В одной плоскости вилка может быть близка к идеальному шарниру, однако форму потери устойчивости определяют также противоположный конец, податливость кронштейна, зазор в подшипнике и способ приложения нагрузки. Нельзя назначать $K=1$ только потому, что крепление называется «вилочным». Используйте монтажную схему изготовителя цилиндра или документированную расчётную модель.

Какой коэффициент запаса применять к нагрузке по Эйлеру?

Единого значения для пневматических систем не существует. В указанной методике P1F компания Parker рекомендует коэффициент от 3,5 до 5, а Festo использует значение 5 в приведённом графике. Следуйте методике для конкретного цилиндра, а перед утверждением коэффициента учитывайте неопределённость нагрузки, динамику, соосность, последствия отказа и применимые требования к машине.

Изменяет ли повышение давления воздуха критическую нагрузку по Эйлеру?

Давление напрямую не изменяет $P_{\mathrm{cr}}$ , если $E$ , $I$ , $K$ и $L$ остаются прежними. Однако оно может увеличить сжимающее усилие цилиндра и уменьшить рабочий запас. При каждом изменении регулируемого давления заново рассчитывайте максимальное усилие и сравнивайте его с допустимой нагрузкой потери устойчивости.

Доказывает ли положительный результат расчёта по Эйлеру пригодность цилиндра?

Нет. Расчёт служит предварительной проверкой идеальной осевой устойчивости штока. Для окончательного выбора по-прежнему нужны диаграмма зависимости допустимой нагрузки от хода конкретного изготовителя и отдельные проверки поперечной нагрузки, соосности, удара, демпфирования, прочности креплений, номинального давления, скорости, температуры и условий среды. Если допущения идеального стержня не описывают узел, применяйте МКЭ или испытания.

Источники и техническая литература

MIT OpenCourseWare: «Упругая потеря устойчивости длинных тонких стержней», дата обращения: 23 июля 2026 г.
SMC: «Технические данные для выбора моделей пневмоцилиндров», дата обращения: 23 июля 2026 г.
Festo: «Общие условия эксплуатации и график нагрузки потери устойчивости», дата обращения: 23 июля 2026 г.
Parker: «Технический каталог пневматических цилиндров P1F ISO», дата обращения: 23 июля 2026 г.
ISO 15552:2018: «Пневматические цилиндры со съёмными креплениями», дата обращения: 23 июля 2026 г.

Формула Эйлера: как рассчитать критическую нагрузку потери устойчивости стержня

Jack Chen