偏心負載處理：側掛質量的轉動慣量計算

Q: 應使用力與偏距的力矩，還是轉動慣量扭矩？

重量、平移慣性力及製程作用力施加於偏移位置時，使用 M=r×F。只有在物體確實繞明確定義的軸旋轉時，才使用 τ=Iα。直線滑座承載偏移但不旋轉的工具時，通常需要前一項計算。

Q: 可以用滾動軸承的三次方規則估算導向壽命嗎？

只有當所選滾動導向機構的文件提供必要的額定值、等效負載方法、指數及適用條件時才可以。ISO 281 與 ISO 14728-1 都有明確適用範圍，不能據以將同一套三次方規則套用到每一種氣缸滑座或密封件。

側掛質量不一定需要計算轉動慣量。若滑座只做平移而不旋轉，導向機構承受的力矩來自作用在偏移位置上的力，包括重量、直線慣性力、製程反力、軟管拉力及擋塊衝擊。只有當負載確實繞著明確定義的軸產生角加速度時，才使用質量轉動慣量。

釐清這項差異可避免常見的選型錯誤。用 $\alpha=a/r$ 把直線加速度換算成憑空假設的角加速度，可能得到看似合理、實際上卻不代表導向反力的扭矩。應先繪製自由體圖、保留正負號，再將每一項力與力矩和所選致動器或導向機構的確切型錄資料逐一比對。

重點摘要

使用 $\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$ 計算靜態力矩與平移慣性力矩。

只有在物體確實繞明確定義的軸旋轉時，才使用 $I\alpha$ 。

在每個負載案例完成之前，保留彼此相反的力矩正負號。

依所選導向型號、速度及組合負載規則，核對每一項力與力矩。

偏心負載是指力的作用線未通過導向機構的參考點或參考軸。質量轉動慣量描述物體抵抗角加速度的能力。導向力矩則是滑座軸承必須承受的外部俯仰、偏擺或滾轉負載。只有在機器的實際運動將這些量連結起來時，它們才彼此相關。

偏心負載處理實際上要計算什麼？

Parker 對基本型 OSP-P 無桿氣缸分別列出最大 $M_x$ 、 $M_y$ 與 $M_z$ ；在其指定條件下，OSP-P25 表列值依序為 1.5、15 與 3 N·m（Parker OSP-P 型錄，2025 年）。因此，處理偏心負載應從各軸向反力著手，而不是只看單一負載額定值。

正確的計算必須回答四個問題：

哪一個力作用在移動組件上？
該力的作用線相對於型錄參考點位於何處？
所產生的力矩作用於哪一個滾轉、俯仰或偏擺軸？
所選型號是否允許這些力與力矩同時存在？

計算路徑取決於實際運動：

應依實際自由度選擇力學模型。同一組件中的平移滑座與旋轉手腕可能需要分別計算。

本文聚焦於由直線滑座承載的側掛質量。相關的無桿氣缸最大滾轉力矩指南會更深入說明型錄的滾轉承載能力；氣缸側向負載指南則追蹤傳統有桿氣缸的磨耗路徑。

從座標系與帶正負號的負載案例開始

Parker 的重載型 OSP-P 導向機構會同時評估五個項目： $M_x$ 、 $M_y$ 、 $M_z$ 、 $F_y$ 與 $F_z$ ，並要求該產品系列的正規化總和不得超過 1（Parker OSP-P 型錄，2025 年）。實用的計算表必須先保留軸向與正負號，之後才能套用型錄限值。

請使用製造商的軸向圖。本文採用：

$x$ ：滑座移動方向
$y$ ：橫跨滑座的側向
$z$ ：垂直方向
$M_x$ ：繞移動軸的滾轉力矩
$M_y$ ：繞側向軸的俯仰力矩
$M_z$ ：繞垂直軸的偏擺力矩

其他製造商可能以不同字母標示相同的物理方向。請複製所選型錄中的軸向圖與基準，不要假設這些字母具有通用定義。

負載草圖必須標示質心、力的方向、參考點及型錄軸向。圖面上看得見的支架長度不一定就是力臂。

請分別建立停留、加速、等速移動、減速、製程接觸、正常停止及緊急停止的計算列。夾取或放開工件可能同時改變質量與重心，因此可能需要另一個負載案例。

如何計算側掛質量產生的靜力矩？

SMC 在 MY1 選型程序中，將靜力矩定義為氣缸靜止時由負載造成的力矩，並把它與擋塊衝擊力矩分開評估（SMC MY1 型錄，查閱於 2026 年）。在與容許值比較之前，應先計算每個靜止作用力相對於型錄參考點的力矩。

質量為 $m$ 的元件，其重量為：

\mathbf{W}=m\mathbf{g}

相對於參考點 $O$ 的力矩為：

\mathbf{M}_{O}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}

其中， $\mathbf{r}$ 從 $O$ 指向力的作用點， $\mathbf{F}$ 則是帶正負號的力向量。以直角座標分量表示：

\begin{aligned} M_x &= r_yF_z-r_zF_y \\ M_y &= r_zF_x-r_xF_z \\ M_z &= r_xF_y-r_yF_x \end{aligned}

使用公尺與牛頓即可得到牛頓公尺。計算所選負載案例時，應納入重力、製程反力、真空吸盤接觸力、拖鏈拉力、軟管阻力、彈簧力，以及直接施加的扭矩。

若有多個元件：

\mathbf{M}_{O,\mathrm{total}} = \sum_i\left(\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i\right) + \sum_j\mathbf{T}_j

保留正負號可以避免誤判超載，也能避免錯誤抵銷。兩個相同質量分別位於 $+y$ 與 $-y$ 時，在垂直重力作用下會產生方向相反的滾轉力矩。若幾何位置與作用力確實對稱，滾轉力矩會互相抵銷，但垂直直接負載仍會相加。把兩個力矩的絕對值相加會重複計入滾轉負載；忽略垂直力則會漏掉導向負載。

因此，置中的 60 kg 質量不能視為「等同於」偏離中心 150 mm 的 20 kg 質量。相對於選定軸向，置中的質量可能產生零靜力矩，但仍施加三倍的直接重量。每一個量都必須各自通過型錄檢查。

直線加速度會如何改變導向力矩？

THK 指出，施加於導向機構的負載取決於重心位置、推力位置、加減速慣性，以及切削阻力等外力（THK 作用負載指南，查閱於 2026 年）。對於始終與滑軌保持平行的滑座，可用作用於質心的平移慣性力表示加速度。

以固定在滑座上的座標系進行自由體計算時，慣性力為：

\mathbf{F}_{\mathrm{inertia}}=-m\mathbf{a}

其相對於導向參考點的力矩為：

\mathbf{M}_{\mathrm{inertia}} = \mathbf{r}_{\mathrm{CG}}\times\mathbf{F}_{\mathrm{inertia}}

假設滑座朝 $+x$ 加速，慣性力會朝 $-x$ 作用。若質心高於參考點，會產生俯仰力矩；若同時存在側向偏移，還會產生偏擺力矩。沿滑軌方向加速不一定會產生滾轉力矩 $M_x$ ；實際出現哪些分量取決於向量外積。

除非機械約束確實把平移轉換成繞指定軸的旋轉，否則不要代入 $\alpha=a/r$ 。半徑、直線加速度與角加速度只有在圓周運動中才會互相連結，不適用於不受旋轉約束的直線平移。

應分開評估下列運轉案例：

負載案例	納入項目	另行檢查
停留	重量與穩定的製程作用力	靜態容許力矩
正常加速	重量、 $-m\mathbf{a}$ 、製程作用力	型錄動態條件
正常減速	反向慣性力	相反的軸承負載分布
夾取或放開工件	新的質量與重心	幾何狀態變更前後
製程接觸	接觸力與直接扭矩	峰值與持續值
端點停止或緊急停止	實測或指定的停止反力	緩衝、擋塊、油壓緩衝器、機架

擋塊衝擊不能只用循環時間猜測為「更大的加速度」。SMC 的 MY1 程序採用產品專用的等效衝擊負載，並另行評估其負載率。所選系列應遵循其指定程序。停止過程的能量計算可參閱移動氣缸負載的動能指南與高質量減速指南。

什麼情況才需要計算轉動慣量？

MIT 的定軸力學講義對繞著偏離質心之軸旋轉的物體，給出平行軸關係式 $I_O=I_G+md^2$ （MIT OpenCourseWare，2016 年）。只有在物體確實有角運動且旋轉軸已明確定義時，才適用這項關係式。

對於實際旋轉：

I_O=I_G+md^2

繞該固定軸做純旋轉時的加速扭矩為：

\tau_O=I_O\alpha

$I_G$ 是通過質心、與旋轉軸平行之軸的質量轉動慣量； $d$ 是兩軸之間的垂直距離； $\alpha$ 是角加速度。以質點近似的 $I_O\approx md^2$ 會忽略物體本身相對於質心軸的慣量，對於寬大的治具或大型工件可能不適用。

下列情況應使用轉動慣量：

安裝在線性滑座上的旋轉致動器或手腕會分度轉動工具。
樞接式機械臂依明確的角運動曲線驅動。
旋轉主軸、夾爪或工件會對滑座施加反作用扭矩。
完整機構具有由已知運動學描述的耦合平移與旋轉。

不要只因質量偏離中心就套用轉動慣量。鎖固在直線滑座上的剛性工具板可以始終保持零角加速度，導向機構卻仍會承受相當大的俯仰、偏擺及滾轉力矩。

無桿軸承載旋轉手腕時，兩套計算會同時存在。手腕驅動器必須提供 $I\alpha$ 、重力與摩擦所需的扭矩；直線導向機構則必須承受大小相等、方向相反的驅動反作用扭矩，以及重量與平移慣性產生的力矩。手腕扭矩計算通過，並不代表滑座導向機構也合格。

計算範例：平移滑座上的側掛工具

THK 的導向機構範例會計算加速與減速期間各滑塊負載的變化，而不是把直線運動改用旋轉模型（THK 額定壽命範例，查閱於 2026 年）。以下假設性計算表採用相同的物理邊界：只計算帶正負號的外加負載，不選定特定產品。

假設無桿滑座沿 $+x$ 方向移動，並承載三個元件。重力沿 $-z$ 方向作用，最嚴苛的正常加速度為 $a_x=3.0\ \mathrm{m/s^2}$ 。在這個簡化的瞬間，所有元件的中心都取 $r_x=0$ 。

元件	質量， $m$	側向偏移， $r_y$	高度， $r_z$
主要工具	8.0 kg	+0.12 m	+0.08 m
側邊感測器	1.5 kg	-0.18 m	+0.10 m
轉接支架	2.5 kg	+0.04 m	+0.03 m

直接垂直負載為：

F_z=-(8.0+1.5+2.5)(9.81)=-117.72\ \mathrm{N}

重力產生的靜態滾轉力矩為：

\begin{aligned} M_{x,\mathrm{gravity}} &=(0.12)(-78.48)+(-0.18)(-14.715)+(0.04)(-24.525) \\ &=-7.750\ \mathrm{N\cdot m} \end{aligned}

側邊感測器的滾轉力矩正負號與主要工具相反，因此能抵銷一部分力矩，但不會消除直接垂直負載。

沿 $+x$ 方向加速時，總慣性力為：

F_{x,\mathrm{inertia}}=-(12.0)(3.0)=-36.0\ \mathrm{N}

各元件的高度會產生俯仰力矩：

\begin{aligned} M_{y,\mathrm{inertia}} &=(0.08)(-24.0)+(0.10)(-4.5)+(0.03)(-7.5) \\ &=-2.595\ \mathrm{N\cdot m} \end{aligned}

各元件的側向偏移會產生偏擺力矩：

\begin{aligned} M_{z,\mathrm{inertia}} &=-(0.12)(-24.0)-(-0.18)(-4.5)-(0.04)(-7.5) \\ &=2.370\ \mathrm{N\cdot m} \end{aligned}

因此，這個負載案例至少包含 $F_z=-117.72\ \mathrm{N}$ 、 $F_x=-36.0\ \mathrm{N}$ 、 $M_x=-7.750\ \mathrm{N\cdot m}$ 、 $M_y=-2.595\ \mathrm{N\cdot m}$ 與 $M_z=2.370\ \mathrm{N\cdot m}$ 。在查核型錄之前，還必須加入其他同時存在的反力。

減速時， $F_x$ 、 $M_y$ 與 $M_z$ 的正負號會反轉。這項反轉會影響軸承接觸，也會影響任何增強或抵銷慣性負載的製程作用力。應評估兩個方向，不要用任意的動態係數乘上靜力矩。

如何依型錄核對計算所得的負載？

Parker 對標準 OSP-P25 的最大 $M_x$ 額定值為 1.5 N·m，而 HD25 導向型的 $M_x$ 則列為 260 N·m；在相同的標稱驅動尺寸內，兩者相差超過 170 倍（Parker OSP-P 型錄，2025 年）。只看缸徑無法判定導向力矩承載能力。

對 Parker 上述重載型導向機構，其公布的交互作用規則為：

U= \frac{\left|M_x\right|}{M_{x,\max}} + \frac{\left|M_y\right|}{M_{y,\max}} + \frac{\left|M_z\right|}{M_{z,\max}} + \frac{\left|F_y\right|}{F_{y,\max}} + \frac{\left|F_z\right|}{F_{z,\max}} \le 1

其中， $U$ 是該特定型錄規則下的組合使用率。若其他產品採用曲線、等效負載、隨速度變化的限值或不同的交互作用方法，就不要直接套用這條方程式。例如，SMC MY1 會依其專用的導向負載率程序，組合最大負載質量、靜力矩及擋塊衝擊力矩。

接受計算結果之前，請查核下列項目：

型錄項目	必須確認的問題
完整型號與導向選配	額定值是否適用於確切的滑座與導向機構，而不只是缸徑？
軸向圖與參考點	計算表的軸向與偏移是否符合型錄？
靜態或動態額定值	該數值適用於哪一種運轉狀態？
速度與衝擊條件	應用條件是否符合所述速度與衝擊假設？
同時負載規則	是否必須組合力與力矩項？
行程與型材支撐	擠型本體是否需要中間支撐？
停止配置	衝擊由氣缸緩衝、外部擋塊或油壓緩衝器承受？
軸承壽命方法	所選導向機構是否公布足以計算壽命的資料？

ISO 14728-1:2017 規定合格傳統設計之線性運動滾動軸承的額定壽命方法，並明確說明適用範圍（ISO 14728-1:2017，2022 年確認）。它並未為所有無桿氣缸滑座、滑動軸承、密封件、導軌或專有導向機構建立通用壽命方程式。若導向製造商公布壽命資料，應採用其指定方法。

降低偏心導向負載的設計變更

SMC 要求 MY1 使用者除了核對最大值，也必須依活塞速度檢查容許負載與力矩曲線，因此降低速度或變更導向型式可能改變容許運轉範圍（SMC MY1 型錄，查閱於 2026 年）。不過，在直接改用更大型的驅動器之前，仍應優先改善幾何配置。

請依未通過的負載分量選擇改善方式：

移動質心。 縮短支架，或將較重的閥件、感測器及治具移近導向參考平面。
平衡帶正負號的力矩。 配重可以抵銷一個重力力矩，但其質量會增加直接導向負載、加速作用力及停止能量。
增設正確選型的外部導向機構。 應依導軌間距、滑塊間距、安裝剛性與對準狀況計算負載分配，不要假設固定比例的負載轉移。
加大軸承跨距或使用兩個滑座。 較寬的支撐可提高力矩承載能力，但負載如何分攤仍取決於確切的導向配置。
降低加速度與急動度。 這會直接降低平移慣性力，但循環時間與閥件控制可能也會改變。
將停止反力移入機架。 外部擋塊或油壓緩衝器可避免嚴重減速負載進入氣缸端蓋，但前提是對準正確且能量額定值足夠。
分開直線與旋轉功能。 以專為反作用扭矩設計的導向機構支撐旋轉手腕或製程主軸。

兩支平行氣缸不一定會平均分攤力矩。機架變形、安裝公差、閥件時序及機械耦合都可能使負載集中在其中一個滑座上。應採用負載分配明確的導向配置，或製造商核准的同步軸設計。

若要診斷既有設備，可參閱如何改善直線氣缸應用中的側向負載問題。若要設計新的無桿軸，無桿氣缸安裝指南會說明型材支撐與對準。

偏心負載 RFQ 應包含哪些資料？

SMC 的導向負載程序會在選型前分別評估三個項目：負載質量、靜力矩及動態擋塊衝擊力矩（SMC MY1 型錄，查閱於 2026 年）。RFQ 必須提供足以重現每一項相關負載的幾何與工作條件資料，不能只有負載公斤數與行程。

請提供：

完整的移動零件清單，包含質量與重心座標。
標示預定氣缸及導向參考軸的尺寸圖。
安裝方向、行程、移動方向及型材支撐位置。
正常與最高速度、加速度、減速度及運動曲線。
質量或重心改變時的工件夾取與放開狀態。
製程作用力、直接扭矩、軟管拉力、拖鏈阻力及外部反力。
正常停止、緊急停止、緩衝、擋塊及油壓緩衝器配置。
所需重複精度、剛性、使用壽命、工作週期及環境。
候選製造商、完整型號、導向選配及滑座數量。

依我們的經驗，一份座標表比「側邊安裝 12 kg」更有用。應記錄每個承載元件的 $x$ 、 $y$ 與 $z$ ，再附上最嚴苛的運轉案例。如此一來，供應商就能重現計算，並在訂購硬體之前找出錯誤的軸向或參考點。

偏心負載處理常見問題

Parker 的 OSP-P 表格將三個力矩軸與直接負載分開，而 SMC 的 MY1 程序則分別檢查負載質量、靜力矩及擋塊衝擊力矩。這兩份型錄都證明同一項核心原則：不能用單一「偏心負載能力」數值取代確切型號的完整選型方法。

偏心負載和側向負載相同嗎？

不一定。側向負載是垂直於預定移動方向的作用力分量。偏心負載則是作用線偏離所選參考點或參考軸、因而產生力矩的任何作用力。一個偏移的垂直重量可以產生滾轉力矩，但不一定會被描述為水平側向力。

應使用力與偏距的力矩，還是轉動慣量扭矩？

重量、平移慣性力及製程作用力施加於偏移位置時，使用 $\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$ 。只有在物體確實繞明確定義的軸旋轉時，才使用 $\tau=I\alpha$ 。直線滑座承載偏移但不旋轉的工具時，通常需要前一項計算，而不是憑空假設角加速度。

位於相反兩側的相同質量一定會互相抵銷嗎？

只有在力向量、垂直偏距及作用時刻都確實對稱時，其力矩才會互相抵銷；直接負載仍會相加。加速度、軟管配置、製程接觸或高度不同都可能破壞對稱，並引入另一個力矩軸，因此每個負載案例都應保留各分量的正負號計算。

加大氣缸缸徑能解決偏心負載問題嗎？

較大缸徑可提高氣動推力，但導向承載能力來自滑座、軸承配置、導向選配及型錄條件。Parker 的標準型與 HD25 配置雖然同為 25 mm 驅動尺寸， $M_x$ 額定值卻相差極大。推力與導向反力必須分開作為兩道選型門檻。

可以用滾動軸承的三次方規則估算導向壽命嗎？

只有當所選滾動導向機構的文件提供必要的額定值、等效負載方法、指數及適用條件時才可以。ISO 281 適用於合格的傳統滾動軸承，且不涵蓋磨耗、腐蝕與電蝕。ISO 14728-1 則針對合格的線性運動滾動軸承。這兩項標準都不能據以將同一套三次方規則套用到每一種氣缸滑座或密封件。

來源與技術參考資料

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Parker，OSP-P 重載型導向無桿氣缸，各軸額定值與五項組合負載方程式；2025 年，查閱於 2026-07-26。
THK，作用負載：LM Guide 選型準則，重心、加速度、推力位置及外力輸入；查閱於 2026-07-26。
THK，靜態安全係數：LM Guide Actuator，懸伸力矩、突然啟動、停止及型號專用安全係數架構；查閱於 2026-07-26。
MIT OpenCourseWare，旋轉動能與轉動慣量，定軸旋轉與平行軸定理；2016 年，查閱於 2026-07-26。
ISO 14728-1:2017，合格線性運動滾動軸承的動額定負載與額定壽命；2022 年確認，查閱於 2026-07-26。
ISO 281:2007，合格滾動軸承的動額定負載、額定壽命、可靠度及適用範圍排除項目；2021 年確認，查閱於 2026-07-26。